ANALYSIS 1 — PRÜFUNGS-CHEATSHEET

Alle Sätze mit Voraussetzungen
Folgen reeller Zahlen
Grundbegriffe

Definition: Folge

Eine Folge ist eine Abbildung \(a: \mathbb{N} \to \mathbb{R},\ n \mapsto a_n\).
Schreibweise\((a_n)_{n \in \mathbb{N}} = a_1, a_2, a_3, \ldots\)

Grenzwert (ε-N-Definition)

Muss in der Prüfung exakt beherrscht werden!
\((a_n)\) konvergiert gegen \(a \in \mathbb{R}\), wenn: \(\forall \varepsilon>0\ \exists N \in \mathbb{N}\), sodass \(\forall n \ge N\): \(|a_n - a| < \varepsilon\)
Notation\(\lim_{n\to\infty} a_n = a\) oder \(a_n \to a\)
sonstFolge divergiert

Nullfolgen

Folge mit \(\lim a_n = 0\).
\(\frac{1}{n}\)\(\to 0\)
\(\frac{1}{n^k}\)\(\to 0\)  (\(k > 0\))
\(\frac{\ln(n)}{n}\)\(\to 0\)
\(q^n\)\(\to 0\)  (\(|q| < 1\))
\(\frac{n}{2^n}\)\(\to 0\)
\(\frac{n!}{n^n}\)\(\to 0\)

Supremum & Infimum SATZ

\(\sup M\) = kleinste obere Schranke, \(\inf M\) = größte untere Schranke von \(M \subseteq \mathbb{R}\).
VollständigkeitJede nach oben beschränkte, nichtleere Menge \(M \subseteq \mathbb{R}\) besitzt ein \(\sup\)
vs. max/min\(\sup/\inf\) müssen nicht angenommen werden
Beispiel\(M=(0,1)\): \(\inf=0,\ \sup=1\), aber kein min/max
Zentrale Sätze

Eindeutigkeit des Grenzwerts SATZ

Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert.
Vorauss.Folge ist konvergent
FolgerungZwei verschiedene Grenzwerte unmöglich

Beschränktheit SATZ

Def.: \((a_n)\) beschränkt \(\Leftrightarrow \exists M>0\) mit \(|a_n| \le M\) für alle n.
SatzKonvergent ⇒ beschränkt
Vorauss.a_n konvergiert
Achtung: Umkehrung gilt nicht! Gegenbeispiel: \(a_n = (-1)^n\) ist beschränkt, aber nicht konvergent.

Monotonie

mon. wachsend\(a_n \le a_{n+1}\) \(\forall n\)
streng mon. w.\(a_n < a_{n+1}\) \(\forall n\)
mon. fallend\(a_n \ge a_{n+1}\) \(\forall n\)

Monotone Konvergenz SATZ

Extrem prüfungsrelevant — löst viele Rekursionsaufgaben!
Fallmon. wachsend + nach oben beschränkt (\(a_n \le a_{n+1},\ a_n \le M\))
Fallmon. fallend + nach unten beschränkt (\(a_n \ge a_{n+1},\ a_n \ge m\))
Dann\(\lim a_n\) existiert \(\Rightarrow\) Folge konvergiert

Cauchy-Folge & Vollständigkeit SATZ

Def.: \((a_n)\) Cauchy-Folge \(\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0\ \exists N:\ |a_n - a_m| < \varepsilon\ \forall n,m \ge N\).
SatzIn \(\mathbb{R}\): konvergent \(\Leftrightarrow\) Cauchy-Folge (Vollständigkeit)
NutzenKonvergenz zeigen, ohne den Grenzwert zu kennen

Rechenregeln für Grenzwerte SATZ

Seien \(a_n \to a\) und \(b_n \to b\). Dann:
Addition\(\lim(a_n+b_n) = a+b\)
Subtraktion\(\lim(a_n-b_n) = a-b\)
Multiplikation\(\lim(a_n b_n) = ab\)
Division\(\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}\)  Vorauss.: \(b \neq 0\), \(b_n \neq 0\) für große n
Betrag\(\lim |a_n| = |a|\)
Potenzen\(\lim (a_n)^k = a^k\)  (\(k \in \mathbb{N}\))
Wurzeln\(\lim \sqrt{a_n} = \sqrt{a}\)  Vorauss.: \(a_n \ge 0,\ a \ge 0\)

Sandwich-Theorem SATZ

Einschließungsprinzip — wurde direkt in Prüfungen abgefragt.
\(a_n \le b_n \le c_n\) (\(\forall n \ge N\)) \(\lim a_n = L\) und \(\lim c_n = L\) \(\Rightarrow \lim b_n = L\)
Vorauss.\(a_n \le b_n \le c_n\) ab einem Index
Vorauss.beide äußere Folgen haben denselben Grenzwert
Standardgrenzwerte & Wachstum

Wichtige Standardgrenzwerte

Praktisch auswendig beherrschen!
Polynome\(\frac{1}{n^k} \to 0\) (\(k>0\))
ln vs Potenz\(\frac{\ln(n)}{n^\alpha} \to 0\) (\(\alpha>0\))
Exponentiell\(q^n \to 0\) (\(|q|<1\))
n! vs a^n\(\frac{n!}{a^n} \to \infty\) (\(a>0\) fest)
Potenz vs a^n\(\frac{n^k}{a^n} \to 0\) (\(a>1\))

Wachstumshierarchie ★

Eine der wichtigsten Merkhilfen der gesamten Analysis.
\(\ln(n) \ll n^\alpha \ll a^n \ll n! \ll n^n\) (\(\alpha > 0,\ a > 1\))

Die Zahl e als Grenzwert ★

Einer der wichtigsten Grenzwerte — unbedingt auswendig!
Definition\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e\)
allgemein\(\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \to e^x\)
Reihe\(e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\)
Rekursion & Häufungspunkte

Rekursive Folgen — Schema

» Wohldefiniertheit zeigen » Monotonie (Induktion) » Beschränktheit (Induktion) » Monotoniekriterium anwenden » Grenzwert: \(L = f(L)\) lösen

Häufungspunkte & Bolzano-Weierstraß SATZ

Def.: \(a\) heißt Häufungspunkt von \((a_n)\), wenn eine Teilfolge existiert, die gegen \(a\) konvergiert.
Satz B-WJede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge
Vorauss.(a_n) beschränkt
Folgerungmind. ein Häufungspunkt existiert
Unendliche Reihen
Grundbegriffe

Definition: Reihe

Die Reihe \(\sum a_n\) ist definiert über die Partialsummenfolge.
Partialsumme\(s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n\)
konvergentwenn \(\lim s_n = s\) existiert; dann \(\sum a_n = s\)
divergentwenn kein Grenzwert existiert

Gaußsche Summenformel

Klassisches Beispiel einer endlichen Partialsumme — per Induktion beweisbar.
\(\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}\)
HerleitungSumme zweimal (vorwärts + rückwärts) addieren: \(n \cdot (n+1)\), dann halbieren
verwandt\(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Notwendige Bedingung SATZ

\(\sum a_n\) konvergiert ⇒ \(a_n \to 0\).
Vorauss.Reihe konvergiert
Folgerung\(\lim a_n = 0\)
Achtung: Umkehrung gilt nicht! \(\sum \frac{1}{n}\) divergiert, obwohl \(\frac{1}{n} \to 0\). (Bereits in Prüfungen abgefragt.)
Wichtige Reihen

Geometrische Reihe SATZ

Konvergiert genau dann, wenn \(|q| < 1\).
\(\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}\) (\(|q| < 1\))
\(|q| \ge 1\)divergent
\(\sum (1/2)^n\)konvergent
\(\sum (-1/3)^n\)konvergent
\(\sum 2^n, \sum (-1)^n\)divergent

Harmonische Reihe SATZ

Satz\(\sum \frac{1}{n} = \infty\) → divergent

p-Reihen (hyperharmonisch) SATZ

\(\sum \frac{1}{n^p}\) konvergiert genau dann, wenn \(p > 1\).
\(\sum 1/n^2, \sum 1/n^3\)konvergent
\(\sum 1/\sqrt{n}, \sum 1/n\)divergent (\(p \le 1\))
Konvergenzkriterien

Majorantenkriterium SATZ

\(0 \le a_n \le b_n\) (n groß) \(\sum b_n\) konvergiert \(\Rightarrow\) \(\sum a_n\) konvergiert
Vorauss.\(a_n \ge 0\) · \(a_n \le b_n\) · \(\sum b_n\) konv.
Vergleiche mitgeom. Reihen, p-Reihen, Exponentialreihen
Beispiel\(\frac{1}{n^2+1} \le \frac{1}{n^2}\), \(\sum 1/n^2\) konv. ⇒ konvergent

Minorantenkriterium SATZ

Wurde in Prüfungen explizit verlangt!
\(0 \le b_n \le a_n\) (n groß) \(\sum b_n\) divergiert \(\Rightarrow\) \(\sum a_n\) divergiert
Vorauss.\(a_n \ge 0\) · \(b_n \le a_n\) · \(\sum b_n\) div.
Beispiel\(\frac{1}{n+1} \ge \frac{1}{2n}\), \(\sum 1/n\) div. ⇒ divergent

Quotientenkriterium SATZ

\(L = \lim \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)\) (\(a_n > 0\)) \(L < 1 \Rightarrow\) konvergent \(L > 1 \Rightarrow\) divergent \(L = 1 \Rightarrow\) keine Aussage
Vorauss.\(a_n > 0\) · Grenzwert existiert
Typisch fürFakultäten, Exponentialfkt., Potenzreihen
Beispiel\(\sum n!/2^n: (n+1)/2 \to \infty\) ⇒ divergent

Wurzelkriterium SATZ

\(L = \limsup |a_n|^{1/n}\) \(L < 1 \Rightarrow\) konvergent \(L > 1 \Rightarrow\) divergent \(L = 1 \Rightarrow\) keine Aussage
Typisch fürPotenzreihen, Ausdrücke mit n-ter Potenz
Beispiel\(\sum (3/4)^n\): n-te Wurzel = \(3/4 < 1\) ⇒ konvergent

Integralkriterium SATZ

\(\sum a_n\) konvergiert \(\Leftrightarrow\) \(\int_1^{\infty} f(x)\,dx\) konvergiert
Vorauss.f stetig · \(f \ge 0\) · f mon. fallend · \(a_n = f(n)\)
Beispiel\(f(x)=1/x^p\): Integral konv. \(\Leftrightarrow\) \(p>1\) ⇒ \(\sum 1/n^p\) konv. \(\Leftrightarrow\) \(p>1\)
Absolute Konvergenz & Alternierende Reihen

Absolute Konvergenz SATZ

Def.: \(\sum a_n\) heißt absolut konvergent, wenn \(\sum |a_n|\) konvergiert.
SatzAbsolut konvergent ⇒ konvergent
Beispiel\(\sum (-1)^n/n^2\) abs. konv., da \(\sum 1/n^2\) konv.

Leibniz-Kriterium SATZ

\(\sum (-1)^n a_n\) konvergiert, falls:
•\(a_n \ge 0\)
•a_n monoton fallend
•\(a_n \to 0\)
Beispiel\(\sum (-1)^n/n\) konvergent, aber \(\sum 1/n\) divergent ⇒ nicht absolut konvergent

Cauchy-Produkt SATZ

Für \(A = \sum a_n, B = \sum b_n\):
\(c_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + ... + a_n b_0\) \(\sum c_n = (\sum a_n)(\sum b_n)\)
Vorauss.Absolute Konvergenz beider Reihen — unbedingt erwähnen!
Potenzreihen

Potenzreihen & Konvergenzradius SATZ

Def.: \(\sum a_n(x-x_0)^n\). Regelmäßig in Theorie- & MC-Fragen!
Radius R\(|x-x_0| < R\): Konvergenz; \(|x-x_0| > R\): Divergenz
Rand\(|x-x_0| = R\): gesondert untersuchen
Quotientenformel\(R = \lim |a_n/a_{n+1}|\) (falls existent)
Wurzelformel\(R = 1 / \limsup |a_n|^{1/n}\)

Vergleichsreihen (auswendig!)

\(\sum q^n\)konv. \(\Leftrightarrow\) \(|q| < 1\)
\(\sum 1/n\)divergent
\(\sum 1/n^p\)konv. \(\Leftrightarrow\) \(p > 1\)
\(\sum 1/n!\)konvergent

Entscheidungsschema Reihen

» \(a_n \to 0\)? Nein ⇒ divergent, fertig » Vergleich: \(1/n^p, q^n, n!/a^n\) » Majoranten-/Minorantenkriterium » Quotientenkriterium » Wurzelkriterium » Integralkriterium » Randfälle separat
Asymptotischer Vergleich
Besonders prüfungsrelevant! Prüfung 13.12.2024: Definition \(a_n \sim b_n\) + Stirling-Formel.
Asymptotische Gleichheit

Definition: \(a_n \sim b_n\)

\(a_n \sim b_n \Leftrightarrow \lim \left(\frac{a_n}{b_n}\right) = 1\)
Vorauss.\(b_n \neq 0\) für große n
Bedeutungrelativer Fehler verschwindet für große n
\(n^2+n\)\(\sim n^2\)  (denn \(1+\frac{1}{n} \to 1\))
\(2n^2+5n\)\(\sim 2n^2\)
\(\ln(n+1)\)\(\sim \ln(n)\)
\(\sin(1/n)\)\(\sim \frac{1}{n}\)
\(e^{1/n}-1\)\(\sim \frac{1}{n}\)

Rechenregeln für \(\sim\) SATZ

Seien \(a_n \sim b_n\) und \(c_n \sim d_n\). Dann:
Multiplikation\(a_n c_n \sim b_n d_n\)
Division\(\frac{a_n}{c_n} \sim \frac{b_n}{d_n}\)  Vorauss.: \(c_n,d_n \neq 0\)
Potenzen\((a_n)^k \sim (b_n)^k\)  (\(k \in \mathbb{N}\))
Landau-Symbole

O-Notation (Groß-O)

\(a_n = O(b_n) \Leftrightarrow \exists C>0, N:\) \(|a_n| \le C|b_n| \ \forall n \ge N\)
Bedeutunga_n wächst höchstens so schnell wie b_n
Beispiele\(n^2+n = O(n^2)\), \(\ln(n) = O(n)\), \(n = O(2^n)\)

o-Notation (Klein-o)

\(a_n = o(b_n) \Leftrightarrow \lim \left(\frac{a_n}{b_n}\right) = 0\)
Beispiele\(\ln(n) = o(n)\), \(n = o(n^2)\), \(n^2 = o(2^n)\)

\(\Theta\)-Notation

Bereits in Multiple-Choice-Aufgaben geprüft!
\(a_n = \Theta(b_n) \Leftrightarrow \exists c_1,c_2>0:\) \(c_1|b_n| \le |a_n| \le c_2|b_n| \ (n \text{ groß})\)
Bedeutungdieselbe Wachstumsordnung
Beispiele\(n^2+n = \Theta(n^2)\), \(3n+7 = \Theta(n)\), \(2^n+n^3 = \Theta(2^n)\)

Wachstumshierarchie (genau)

\(1 \ll \ln(n) \ll n^\alpha \ll a^n \ll n! \ll n^n\) (\(\alpha > 0,\ a > 1\)) \(\ln(n) = o(n^\alpha)\) \(n^\alpha = o(a^n)\) \(a^n = o(n!)\) \(n! = o(n^n)\)
Stirling-Formel

Stirling-Formel SATZ

\(n! \sim \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n}\) \(n! = \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n}(1+o(1))\)
Vorauss.\(n \to \infty\)
AnwendungFakultäten, Binomialkoeffizienten, Reihen mit n!

★ Zentraler Binomialkoeffizient

Genau diese Aufgabe kam in der Prüfung Dez. 2024!
\(\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}\) Stirling einsetzen: \((2n)! \sim \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n} \sqrt{4\pi n}\) \(n! \sim \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n}\) \(\Rightarrow \binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\) \(\Rightarrow \binom{2n}{n}\cdot 4^{-n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\) also \(c = \frac{1}{\sqrt{\pi}}, \ \alpha = -\frac{1}{2}\)
Standardentwicklungen (\(x \to 0\))

Asymptotische Standardentwicklungen

Praktisch auswendig — extrem nützlich für Grenzwerte!
\(\sin(x)\)\(\sim x\)
\(\tan(x)\)\(\sim x\)
\(e^x-1\)\(\sim x\)
\(\ln(1+x)\)\(\sim x\)
\(1-\cos(x)\)\(\sim \frac{x^2}{2}\)
\(\sqrt{1+x}-1\)\(\sim \frac{x}{2}\)
\(\arcsin(x)\)\(\sim x\)
\(\arctan(x)\)\(\sim x\)
\(\ln(n+1)\)\(\sim \ln(n)\)  (\(n\to\infty\))

Vorgehen bei Asymptotik-Aufgaben

Polynome: höchste Potenz \(3n^4+7n^2-5 \sim 3n^4\) Rationale Fkt.: höchste Potenzen kürzen \(\frac{n^2+1}{3n^2-5} \to \frac{1}{3}\) Fakultäten: Stirling Exponentiell: Wachstumshierarchie Kleine Argumente: \(\sin(x)\sim x,\ \ln(1+x)\sim x,\ e^x-1\sim x\)

Typische Prüfungsaufgaben

\(n^2+3n+1\)\(\sim n^2\)
\(\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}\)\(\to 0\)  (da \(\ln(n) = o(n^\alpha)\ \forall \alpha>0\))
\(\binom{2n}{n}4^{-n}\)\(\sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\)  (Stirling)
\(\sum \binom{2n}{n}4^{-n}\)\(a_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi}\cdot n^{1/2}}\), Vergleich \(\sum \frac{1}{\sqrt{n}}\) div. \(\Rightarrow\) divergent
Elementare Funktionen
Eines der wichtigsten Kapitel — die gesamte Differential- und Integralrechnung baut darauf auf.
Polynome & Potenzen

Polynomfunktionen

\(f(x) = a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0\), \(a_n \neq 0\).
Def.-Bereich\(D = \mathbb{R}\)
Eigensch.stetig auf \(\mathbb{R}\), beliebig oft differenzierbar, keine Lücken
Ableitung\((x^n)' = nx^{n-1}\), \((af)' = af'\), \((f+g)' = f'+g'\)
Integral\(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)  (\(n \neq -1\))

Potenzfunktionen \(x^{\alpha}\)

\(\alpha\) ganz\(D = \mathbb{R}\)
\(\alpha\) rational (gerader Nenner)\(D = [0,\infty)\)
\(\alpha\) irrational\(D = (0,\infty)\)
Ableitung\((x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha-1}\) (x im Def.-Bereich)
Integral\(\int x^{\alpha} \, dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\)  (\(\alpha \neq -1\))
Spezialfall\(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x|+C\)
Exponential & Logarithmus

Exponentialfunktionen \(a^x\)

\(f(x) = a^x\) mit \(a > 0\), \(a \neq 1\).
\(a > 1\)streng monoton wachsend
\(0 < a < 1\)streng monoton fallend
D / W\(D = \mathbb{R}, W = (0,\infty)\)
e-Funktion\((e^x)' = e^x\), \(\int e^x \, dx = e^x+C\)
allg. Basis\((a^x)' = a^x\ln(a)\), \(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)}+C\)

Logarithmusfunktionen

\(y = \log_a(x) \Leftrightarrow a^y = x\). Vorauss.: \(a>0, a\neq 1, x>0\).
D / W\(D = (0,\infty), W = \mathbb{R}\)
natürlich\(\ln(x) = \log_e(x)\)
Regeln\(\ln(xy)=\ln x+\ln y\), \(\ln(x/y)=\ln x-\ln y\), \(\ln(x^{\alpha})=\alpha \ln x\)
Werte\(\ln(1)=0\), \(\ln(e)=1\)
Ableitung\((\ln x)' = \frac{1}{x}\) (x>0), \((\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\)
Integral\(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x|+C\)
Trigonometrische Funktionen

sin, cos, tan

sin\(D=\mathbb{R}, W=[-1,1]\), Periode \(2\pi\); \((\sin)'=\cos\), \(\int \sin = -\cos+C\)
cos\((\cos)'=-\sin\), \(\int \cos = \sin+C\)
tan\(\tan=\frac{\sin}{\cos}\), \(D=\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}\)
tan'\(\frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x)\)
∫tan\(-\ln|\cos(x)|+C\)

Identitäten & Theoreme

Pythagoras: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\) Addition: \(\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\) \(\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\) \(\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}\) Doppelwinkel: \(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x\) \(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x\) \(= 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x\) Halbwinkel (für Integrale!): \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\) \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\)

Arkusfunktionen

arcsin\(D=[-1,1], W=[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\); \((\arcsin)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
arccos\((\arccos)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
arctan\((\arctan)' = \frac{1}{1+x^2}\)
Integral\(\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan(x)+C\)
Grenzwerte & Tabellen

Wichtige Grenzwerte (\(x \to 0\))

Unbedingt auswendig!
\(\frac{\sin(x)}{x}\)\(\to 1\)
\(\frac{\tan(x)}{x}\)\(\to 1\)
\(\frac{e^x-1}{x}\)\(\to 1\)
\(\frac{\ln(1+x)}{x}\)\(\to 1\)
\(\frac{1-\cos x}{x^2}\)\(\to \frac{1}{2}\)
\((1+x)^{\alpha}\)\(= 1 + \alpha x + o(x)\)

★ Tabelle: Ableitungen

\(c\)\(0\)
\(x\)\(1\)
\(x^n\)\(nx^{n-1}\)
\(x^{\alpha}\)\(\alpha x^{\alpha-1}\)
\(e^x\)\(e^x\)
\(a^x\)\(a^x \ln a\)
\(\ln x\)\(\frac{1}{x}\)
\(\log_a x\)\(\frac{1}{x \ln a}\)
\(\sin x\)\(\cos x\)
\(\cos x\)\(-\sin x\)
\(\tan x\)\(\frac{1}{\cos^2 x}\)
\(\cot x\)\(-\frac{1}{\sin^2 x}\)
\(\arcsin x\)\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arccos x\)\(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arctan x\)\(\frac{1}{1+x^2}\)
\(\sinh x\)\(\cosh x\)
\(\cosh x\)\(\sinh x\)
\(\tanh x\)\(1-\tanh^2 x\)

★ Tabelle: Differentiale

\(df = f'(x)\,dx\)
\(x^n\)\(nx^{n-1}\,dx\)
\(x^{\alpha}\)\(\alpha x^{\alpha-1}\,dx\)
\(e^x\)\(e^x\,dx\)
\(a^x\)\(a^x \ln a\,dx\)
\(\ln x\)\(\frac{dx}{x}\)
\(\log_a x\)\(\frac{dx}{x \ln a}\)
\(\sin x\)\(\cos x\,dx\)
\(\cos x\)\(-\sin x\,dx\)
\(\tan x\)\(\frac{dx}{\cos^2 x}\)
\(\cot x\)\(-\frac{dx}{\sin^2 x}\)
\(\arcsin x\)\(\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arccos x\)\(-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arctan x\)\(\frac{dx}{1+x^2}\)
\(\sinh x\)\(\cosh x\,dx\)
\(\cosh x\)\(\sinh x\,dx\)
\(\tanh x\)\((1-\tanh^2 x)\,dx\)

★ Tabelle: Stammfunktionen

\(x^n\)\(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) (\(n\neq -1\))
\(\frac{1}{x}\)\(\ln|x|+C\)
\(e^x\)\(e^x+C\)
\(a^x\)\(\frac{a^x}{\ln(a)}+C\)
\(\sin(x)\)\(-\cos(x)+C\)
\(\cos(x)\)\(\sin(x)+C\)
\(\tan(x)\)\(-\ln|\cos(x)|+C\)
\(\frac{1}{\cos^2(x)}\)\(\tan(x)+C\)
\(\frac{1}{\sin^2(x)}\)\(-\cot(x)+C\)
\(\frac{1}{1+x^2}\)\(\arctan(x)+C\)
\(\frac{1}{a^2+x^2}\)\(\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C\)
\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)\(\arcsin(x)+C\)
\(\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\)\(\arcsin\frac{x}{a}+C\)
\(\sinh(x)\)\(\cosh(x)+C\)
\(\cosh(x)\)\(\sinh(x)+C\)
Grenzwerte von Funktionen & Stetigkeit
Grundlage der gesamten Differential- & Integralrechnung. Exakte Definitionen wurden direkt in Prüfungen abgefragt!
Grenzwerte

Grenzwert einer Funktion (ε-δ)

Sei \(f: D \to \mathbb{R}\), \(x_0\) Häufungspunkt von D.
\(\lim_{x\to x_0} f(x) = L \Leftrightarrow\) \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\): \(0 < |x-x_0| < \delta\) \(\Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon\)
Vorauss.\(x_0\) Häufungspunkt des Def.-Bereichs
Hinweisf muss in \(x_0\) selbst nicht definiert sein

Einseitige Grenzwerte SATZ

rechtsseitig\(\lim_{x\to x_0^+} f(x)\)
linksseitig\(\lim_{x\to x_0^-} f(x)\)
SatzGrenzwert existiert \(\Leftrightarrow\) links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und sind gleich

Rechenregeln für Grenzwerte SATZ

Seien \(\lim f = a\), \(\lim g = b\):
Summe/Diff.\(\lim(f\pm g) = a\pm b\)
Produkt\(\lim(fg) = ab\)
Quotient\(\lim\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{a}{b}\)  Vorauss.: \(b \neq 0\)
Potenz\(\lim f^n = a^n\)
Wurzel\(\lim \sqrt{f} = \sqrt{a}\)  Vorauss.: \(a \ge 0\)
Betrag\(\lim |f| = |a|\)

Grenzwerte elementarer Funktionen

Polynomeüberall stetig: \(\lim P(x) = P(x_0)\)
rationale Fkt.\(\lim \frac{P}{Q} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}\)  Vorauss.: \(Q(x_0) \neq 0\)
e^x\(\lim e^x = e^{x_0}\)
ln\(\lim \ln(x) = \ln(x_0)\) für \(x_0 > 0\)
sin, cosüberall stetig
Stetigkeit

Definition: Stetigkeit ★

Exakte Prüfungsdefinition!
\(f\) stetig in \(x_0 \in D \Leftrightarrow\) \(\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\) äquivalent (ε-δ): \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\): \(|x-x_0| < \delta\) \(\Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon\)

Arten von Unstetigkeiten

hebbar\(\frac{x^2-1}{x-1}\), \(x \neq 1\): Grenzwert existiert, \(f(1)\) fehlt
Sprungstelle\(\operatorname{sgn}(x)\): Links-/Rechtsgrenzwert verschieden
Polstelle\(\frac{1}{x}\): Funktionswert \(\to \pm\infty\)
oszillierend\(\sin(1/x)\), \(x\to 0\): Grenzwert existiert nicht

Algebra stetiger Funktionen SATZ

Sind f, g stetig in \(x_0\), dann auch:
stetig\(f+g\), \(f-g\), \(fg\), \(f/g\)
Vorauss.bei f/g: \(g(x_0) \neq 0\)

Verkettung stetiger Fkt. SATZ

Eine der wichtigsten Aussagen der Analysis!
Satz\(f(g(x))\) stetig in \(x_0\)
Vorauss.g stetig in \(x_0\)
Vorauss.f stetig in \(g(x_0)\)
Die großen Sätze

Zwischenwertsatz SATZ

f nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.
\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig \(\forall y\) zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) \(\exists c \in [a,b]: f(c) = y\)
Vorauss.f stetig
Vorauss.abgeschlossenes Intervall \([a,b]\)
AnwendungExistenz von Nullstellen

Nullstellensatz von Bolzano SATZ

Extrem prüfungsrelevant!
\(f(a)\cdot f(b) < 0\) \(\Rightarrow \exists c \in (a,b): f(c) = 0\)
Vorauss.f stetig auf \([a,b]\)
Vorauss.Vorzeichenwechsel

Satz von Weierstraß (Max/Min) SATZ

\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig \(\Rightarrow\) f besitzt Maximum und Minimum.
Vorauss.Stetigkeit
Vorauss.abgeschlossenes und beschränktes Intervall
Ohne Vorauss. falsch: \(f(x)=x\) auf \((0,1)\) hat weder Max noch Min (Intervall nicht abgeschlossen).

Gleichmäßige Stetigkeit & Heine-Cantor SATZ

Def. glm. stetig auf D: \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\) (für ALLE \(x,y \in D\)): \(|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon\)
Unterschiednormal: \(\delta\) darf von \(x_0\) abhängen; glm.: \(\delta\) hängt nur von \(\varepsilon\) ab
Heine-Cantorf stetig auf kompaktem \([a,b]\) \(\Rightarrow\) f gleichmäßig stetig
Vorauss.f stetig · \([a,b]\) kompakt
Spezielle Grenzwerte

Standardgrenzwerte (x → 0)

\(\sin(x)/x\)\(\to 1\)
\(\tan(x)/x\)\(\to 1\)
\((e^x-1)/x\)\(\to 1\)
\(\ln(1+x)/x\)\(\to 1\)
\((1-\cos x)/x^2\)\(\to 1/2\)
\((1+x)^\alpha\)\(= 1+\alpha x+o(x)\)

Unendliche Grenzwerte & Grenzwerte im Unendlichen

\(\lim f(x) = \infty\ (x\to x_0)\): \(\forall M>0\ \exists \delta>0\): \(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x) > M\) Bsp: \(1/x^2 \to \infty\) für \(x\to 0\) \(\lim f(x) = L\ (x\to \infty)\): \(\forall \varepsilon>0\ \exists N>0\): \(x>N \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon\)
\(1/x\)\(\to 0\)
\(\ln(x)/x\)\(\to 0\)
\(e^{-x}\)\(\to 0\)
\(\arctan(x)\)\(\to \pi/2\)
Die Ableitung
Grundlage der gesamten Differentialrechnung. Die exakte Definition wurde direkt in Prüfungen abgefragt!
Definition & Grundsatz

Definition: Ableitung ★

\(f\) differenzierbar in \(x_0\) \(\Leftrightarrow\) \(f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) existiert
Differenzenquot.\(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) = mittlere Änderungsrate
\(f'(x_0)\)momentane Änderungsrate
geometrischSteigung der Tangente in \((x_0, f(x_0))\)

Differenzierbar ⇒ stetig SATZ

Satz\(f\) differenzierbar in \(x_0\) \(\Rightarrow\) \(f\) stetig in \(x_0\)
Vorauss.\(f\) differenzierbar in \(x_0\)
Achtung: Umkehrung gilt nicht! \(f(x)=|x|\) ist stetig in 0, aber nicht differenzierbar.
Ableitungsregeln

Linearität SATZ

\((\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'\)
Vorauss.\(f, g\) differenzierbar
Spezialfälle\((f\pm g)'=f'\pm g'\), \((cf)'=cf'\)

Produktregel SATZ

\((fg)' = f'g + fg'\)
Vorauss.\(f, g\) differenzierbar
Beispiel\((x^2e^x)' = 2xe^x+x^2e^x = e^x(2x+x^2)\)

Quotientenregel SATZ

\(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}\)
Vorauss.\(f\) diff'bar · \(g\) diff'bar · \(g(x) \neq 0\)
Beispiel\(\left(\frac{x}{x+1}\right)' = \frac{1}{(x+1)^2}\)

Brüche ableiten — Beispiele ★

Merkspruch: „NAZ minus ZAN, durch N-Quadrat“ — (Nenner·Abl.Zähler − Zähler·Abl.Nenner)/Nenner².
Schema: \(f=\)Zähler, \(g=\)Nenner \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\)
Bsp 1: \(\frac{x^2}{x+1}\) \(f=x^2,\ f'=2x;\quad g=x+1,\ g'=1\) \(= \frac{2x(x+1) - x^2\cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\)
Bsp 2: \(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\) einfacher via Potenzregel: \(= -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}\)
Bsp 3: \(\frac{\sin x}{x}\) \(f=\sin x,\ f'=\cos x;\quad g=x,\ g'=1\) \(= \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}\)
Bsp 4: \(\frac{e^x}{x^2}\) \(= \frac{e^x\cdot x^2 - e^x\cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x(x-2)}{x^3}\)
Tipp: Ist der Zähler konstant (\(\frac{c}{g}\)), schneller als \(c\cdot g^{-1}\) mit Kettenregel: \(\left(\frac{c}{g}\right)' = -\frac{c\,g'}{g^2}\).

Kettenregel SATZ ★

Einer der wichtigsten Sätze der gesamten Analysis!
\(h(x) = f(g(x))\) \(\Rightarrow h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
Vorauss.\(g\) differenzierbar in \(x\)
Vorauss.\(f\) differenzierbar in \(g(x)\)
Beispiel\((\sin(x^2))' = \cos(x^2)\cdot 2x\)
Beispiel\((\ln(1+x^2))' = \frac{2x}{1+x^2}\)

Ableitung der Umkehrfunktion SATZ

\((f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\) mit \(y_0 = f(x_0)\)
Vorauss.\(f\) streng monoton, stetig, diff'bar (Umkehrfkt. existiert) · \(f'(x_0) \neq 0\)
Beispiel\(f=e^x, f^{-1}=\ln: (\ln x)' = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}\)

Implizites Differenzieren

Wurde bereits in Prüfungen verlangt! Kurve \(F(x,y)=0\) nach x ableiten.
Beispiel Kreis: \(x^2 + y^2 = 1\) \(2x + 2yy' = 0\) \(\Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\)
Höhere Ableitungen & Anwendungen

Höhere Ableitungen & Leibniz-Regel SATZ

Notation\(f'' = (f')'\), allgemein \(f^{(n)}\)
Beispiel\(x^4: 4x^3 \to 12x^2 \to 24x \to 24\)
Leibniz-Regel: \((fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}\) n=1: Produktregel \(n=2: (fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''\)

Tangente & Normale

Tangente in x0: \(y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)\) Bsp: \(f=x^2, x_0=1: y = 1+2(x-1) = 2x-1\) Normale (senkrecht): \(m_N = -\frac{1}{f'(x_0)}\) \((f'(x_0) \neq 0)\)

Kriterien für Differenzierbarkeit

\(|x|\)links: −1, rechts: +1 ⇒ nicht diff'bar in 0
\(\sqrt{x}\)nur für x > 0 differenzierbar
stückweiseprüfen: Existenz · Stetigkeit · Links- = Rechtsableitung
Taylor-Formel & Mittelwertsatz
Mittelwertsatz + Voraussetzungen wurden bereits direkt in Prüfungen abgefragt!
Die Mittelwertsätze

Satz von Rolle SATZ

\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) mit • f stetig auf [a,b] • f diff'bar auf (a,b) • \(f(a) = f(b)\) \(\Rightarrow \exists c \in (a,b): f'(c) = 0\)
geometrischmind. ein Punkt mit horizontaler Tangente
Vorauss.!Stetigkeit auf [a,b], Diff'barkeit auf (a,b), gleiche Randwerte — unbedingt angeben!

Mittelwertsatz (Lagrange) SATZ ★

\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) • stetig auf [a,b] • diff'bar auf (a,b) \(\Rightarrow \exists c \in (a,b):\) \(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
geometrischTangente hat irgendwo dieselbe Steigung wie die Sekante
Vorauss.!immer vollständig nennen: stetig auf [a,b] + diff'bar auf (a,b)

Verallg. Mittelwertsatz (Cauchy) SATZ

\(f, g: [a,b] \to \mathbb{R}\) • stetig auf [a,b] • diff'bar auf (a,b) • \(g'(x) \neq 0\) auf (a,b) \(\Rightarrow \exists c \in (a,b):\) \(\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)
Spezialfall\(g(x)=x\) ⇒ gewöhnlicher Mittelwertsatz
Monotonie & Extrema

Monotoniekriterium SATZ

Vorauss.: f differenzierbar auf I.
\(f' \ge 0\)monoton wachsend
\(f' > 0\)streng monoton wachsend
\(f' \le 0\)monoton fallend
\(f' < 0\)streng monoton fallend

Lokale Extrema: notwendige Bedingung SATZ

Satzlokales Extremum in \(x_0\) + f dort diff'bar ⇒ \(f'(x_0) = 0\)
Begriffsolche Punkte = kritische Stellen
Achtung: \(f'(x_0)=0\) bedeutet nicht automatisch Extremum! Bsp: \(f(x)=x^3\), \(f'(0)=0\), aber kein Extremum.

Erstes Ableitungs-Kriterium

Maximumf' wechselt + → −
Minimumf' wechselt − → +
kein Extremumkein Vorzeichenwechsel

Zweites Ableitungs-Kriterium SATZ

Vorauss.: \(f'(x_0) = 0\).
\(f''(x_0) < 0\)lokales Maximum
\(f''(x_0) > 0\)lokales Minimum
\(f''(x_0) = 0\)keine Aussage → weitere Abl. / Vorzeichenwechsel

Krümmung & Wendepunkte

\(f'' > 0\)konvex (linksgekrümmt)
\(f'' < 0\)konkav (rechtsgekrümmt)
Wendepunkt notw.\(f''(x_0) = 0\)
hinreichendf'' wechselt Vorzeichen; oder \(f'''(x_0) \neq 0\)
Taylor

Taylorpolynom DEF

\(T_n(x) = f(x_0)\) \(+ f'(x_0)(x-x_0)\) \(+ \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\) + ... \(+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)
Vorauss.f besitzt n Ableitungen in Umgebung von \(x_0\)

Taylor-Formel mit Lagrange-Restglied SATZ

\(f(x) = T_n(x) + R_n(x)\) \(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\) \(\xi\) zwischen \(x_0\) und \(x\)
Vorauss.\(f \in C^{(n+1)}\) (n+1 stetige Ableitungen)

Maclaurin-Reihen \((x_0 = 0)\) ★

Weitgehend auswendig beherrschen!
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\) \(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\) \(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\) \(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots\) \((|x| < 1)\) \(\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\) \((|x| < 1)\) \(\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots\) \((|x| \le 1)\)

Regel von de l'Hospital SATZ ★

\(\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\)
Vorauss.\(\frac{0}{0}\)-Form oder \(\frac{\infty}{\infty}\)-Form
Vorauss.f, g diff'bar in Umgebung von \(x_0\)
Vorauss.\(g'(x) \neq 0\)
Vorauss.\(\lim f'/g'\) existiert
Bsp\(\frac{\sin(x)}{x} \to \frac{\cos(x)}{1} \to 1\) \((x\to 0)\)
Bsp\(\frac{\ln(x)}{x} \to \frac{1/x}{1} \to 0\) \((x\to \infty)\)
Bsp\(\frac{e^x-1}{x} \to e^x \to 1\) \((x\to 0)\)

Standard-Taylorentwicklungen \((x \to 0)\)

sin, tan\(\sim x\)
arcsin, arctan\(\sim x\)
ln(1+x)\(\sim x\)
\(e^x-1\)\(\sim x\)
\(1-\cos(x)\)\(\sim \frac{x^2}{2}\)
\(\sqrt{1+x}\)\(= 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \cdots\)
\((1+x)^\alpha\)\(= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)x^2}{2} + \cdots\)

Schema: Kurvendiskussion

» Definitionsbereich » Symmetrien » Nullstellen » Grenzwerte & Asymptoten » f': kritische Punkte, Monotonie, Extrema » f'': Krümmung, Wendepunkte » Skizze
Das unbestimmte Integral
Stammfunktion

Definition: Stammfunktion SATZ

F heißt Stammfunktion von f auf Intervall I, wenn \(F'(x) = f(x)\) \(\forall x \in I\).
Notation\(\int f(x) \, dx = F(x)+C\), \(C \in \mathbb{R}\)
Satz ★Alle Stammfunktionen haben die Form \(F(x)+C\) — unterscheiden sich nur um eine Konstante (wurde explizit abgefragt!)
Vorauss.F Stammfunktion von f auf einem Intervall I

Linearität SATZ

\(\int (\alpha f + \beta g) \, dx = \alpha \int f \, dx + \beta \int g \, dx\)
Vorauss.f, g besitzen Stammfunktionen

Grundintegrale

\(x^n\)\(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) \((n \neq -1)\)
\(\frac{1}{x}\)\(\ln|x|+C\)
\(e^x\)\(e^x+C\)
\(a^x\)\(\frac{a^x}{\ln(a)}+C\) \((a>0, a \neq 1)\)
\(\ln(x)\)\(x\ln(x)-x+C\) (part. Int.)
\(\sin(x)\)\(-\cos(x)+C\)
\(\cos(x)\)\(\sin(x)+C\)
\(\tan(x)\)\(-\ln|\cos(x)|+C\)
\(\frac{1}{\cos^2(x)}\)\(\tan(x)+C\)
\(\frac{1}{\sin^2(x)}\)\(-\cot(x)+C\)
\(\frac{1}{1+x^2}\)\(\arctan(x)+C\)
\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)\(\arcsin(x)+C\)
\(\sinh(x)\)\(\cosh(x)+C\)
\(\cosh(x)\)\(\sinh(x)+C\)
Integrationstechniken

Substitutionsregel SATZ

\(\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du\) mit \(u = g(x)\)
Vorauss.g diff'bar · f besitzt Stammfunktion
Vorgehen: • \(u = g(x)\) festlegen • \(du = g'(x)\,dx\) • Integral in \(u\) umschreiben • Integrieren • Rücksubstitution
Bsp\(\int 2xe^{x^2} \, dx = e^{x^2}+C\) \((u=x^2)\)
Bsp\(\int \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3}\sin(3x)+C\) \((u=3x)\)

Partielle Integration SATZ

\(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
Vorauss.\(u\), \(v\) differenzierbar
LIATE-Regel (\(u\)-Wahl, oben zuerst): Logarithmus Inverse Funktionen Algebraisch Trigonometrisch Exponentiell
Bsp\(\int xe^x \, dx = (x-1)e^x+C\)
Bsp\(\int \ln(x) \, dx = x\ln(x)-x+C\)
Bsp\(\int x\sin(x) \, dx = -x\cos(x)+\sin(x)+C\)

Rationale Funktionen

Typ\(\int \frac{P'(x)}{P(x)} \, dx = \ln|P(x)|+C\)
Beispiel\(\int \frac{2x}{x^2+1} \, dx = \ln(x^2+1)+C\)
TypPartialbruchzerlegung
Bsp: \(\int \frac{1}{x^2-1} \, dx\) \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\) \(\frac{1}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}\) → Brüche einzeln integrieren

Trigonometrische Integrale

\(\sin \cdot \cos\)nutze \(\sin(2x)=2\sin x \cos x\)
Quadrate\(\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}\), \(\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}\)
Bsp: \(\int \sin^2(x) \, dx\) \(= \frac{1}{2}\int (1-\cos 2x) \, dx\) \(= \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C\)

Wurzel-Integrale (trig. Substitution)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)Subst. \(x=\sin(t)\) \(\Rightarrow\) \(\arcsin(x)+C\)
\(\int \frac{dx}{1+x^2}\)Subst. \(x=\tan(t)\) \(\Rightarrow\) \(\arctan(x)+C\)

Entscheidungsschema Integrale

\(f'(x)\) innerhalb einer Fkt.? → Substitution Produkt zweier Fkt.-Typen? → part. Integration Rationaler Bruch? → Partialbruchzerlegung \(\sin^2\)/\(\cos^2\)? → Halbwinkelformeln \(\sqrt{1-x^2}\) oder \(1+x^2\)? → trig. Substitution
Das bestimmte Integral
Der Hauptsatz gehört zu den wichtigsten Sätzen der gesamten Analysis!
Riemann-Integral

Zerlegung & Ober-/Untersummen

Zerlegung: \(a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b\) Feinheit: \(|Z| = \max(x_i-x_{i-1}) \to 0\) \(M_i = \sup f,\ m_i = \inf f\) (je Teilintervall) Obersumme: \(O(f,Z) = \sum M_i(x_i-x_{i-1})\) Untersumme: \(U(f,Z) = \sum m_i(x_i-x_{i-1})\) stets: \(U(f,Z) \le O(f,Z)\)

Riemann-Summe DEF

Zwischenstellen \(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\) je Teilintervall beliebig wählen.
Riemann-Summe: \(S(f,Z,\xi) = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,(x_i - x_{i-1})\) — Näherung der Fläche durch Rechtecke
Integral = Grenzwert der Riemann-Summen: \(\int_a^b f\,dx = \lim_{|Z|\to0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,\Delta x_i\) (existiert & unabhängig von der Wahl der \(\xi_i\))
äquidistant\(\Delta x = \frac{b-a}{n},\ \int_a^b f = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\frac{b-a}{n}\)
Einordnung\(U(f,Z) \le S(f,Z,\xi) \le O(f,Z)\)

Riemann-Integrierbarkeit DEF

\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) beschränkt heißt Riemann-integrierbar, wenn:
\(\sup U(f,Z) = \inf O(f,Z)\) \(=: \int_a^b f(x)\,dx\)

Stetig ⇒ integrierbar SATZ

SatzJede stetige Funktion auf \([a,b]\) ist Riemann-integrierbar
Vorauss.\(f\) stetig · \([a,b]\) abgeschlossen & beschränkt

Eigenschaften des Integrals SATZ

Linearität\(\int(\alpha f+\beta g) = \alpha\int f + \beta\int g\)
Additivität\(\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b\) \((a<c<b)\)
Grenzen tauschen\(\int_a^b f = -\int_b^a f\)
Nullintervall\(\int_a^a f = 0\)
Monotonie\(f \le g \Rightarrow \int f \le \int g\)
Abschätzung\(m \le f \le M \Rightarrow m(b-a) \le \int f \le M(b-a)\)
Betrag\(|\int f| \le \int |f|\)
Hauptsatz ★

Stammfunktion aus best. Integral SATZ

Hauptsatz der Diff.- & Integralrechnung (1. Teil) — verbindet Ableiten und Integrieren.
\(f\) stetig auf \([a,b]\) \(F(x) := \int_a^x f(t)\,dt\) \(\Rightarrow F'(x) = f(x)\)
Vorauss.\(f\) stetig · \(x \in [a,b]\)

Best. Integral via Stammfunktion SATZ

Hauptsatz der Diff.- & Integralrechnung (2. Teil) — in praktisch jeder Rechenaufgabe verwendet.
\(F\) Stammfunktion von \(f\) \(\Rightarrow \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Vorauss.\(F'(x) = f(x)\)
Beispiel\(\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right] = \frac{1}{3}\)

Mittelwertsatz der Integralrechnung SATZ

\(f\) stetig auf \([a,b]\) \(\Rightarrow \exists c \in [a,b]:\) \(\int_a^b f(x)\,dx = f(c)(b-a)\)
Vorauss.\(f\) stetig · \([a,b]\) abgeschlossen
Interpretation\(f(c) =\) Durchschnittswert der Funktion
Mittelwert\(\frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f(x)\,dx\)
Anwendungen

Flächenberechnung

\(f \ge 0\)\(A = \int_a^b f(x)\,dx\)
allgemein\(A = \int_a^b |f(x)|\,dx\)
zwischen f, g\(A = \int_a^b(f-g)\,dx\) \((f \ge g)\)
Beispiel\(f=x, g=x^2\) auf \([0,1]\): \(\int(x-x^2) = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)

Symmetrie ★

Spart in Prüfungen oft viel Rechenarbeit!
gerade \(f(-x)=f(x)\)\(\int_{-a}^a f = 2\int_0^a f\)
ungerade \(f(-x)=-f(x)\)\(\int_{-a}^a f = 0\)

Integralkriterium für Reihen SATZ

\(\sum a_n\) konvergiert \(\Leftrightarrow\) \(\int_1^\infty f(x)\,dx\) konvergiert
Vorauss.\(f\) stetig · \(f \ge 0\) · \(f\) mon. fallend · \(a_n = f(n)\)
Beispiel\(\frac{1}{x^p}\): konv. \(\Leftrightarrow p>1\) \(\Rightarrow\) \(\sum \frac{1}{n^p}\) konv. \(\Leftrightarrow p>1\)
Uneigentliche Integrale
Vollständig Prüfungsstoff — insbesondere das Integralkriterium für Reihen.
Definitionen

Unendliche Grenze DEF

\(\int_a^{\infty} f(x)\,dx := \lim_{R\to\infty} \int_a^R f(x)\,dx\) \(\int_{-\infty}^b f(x)\,dx := \lim_{R\to-\infty} \int_R^b f(x)\,dx\)
konvergentGrenzwert existiert und ist endlich
beidseitig ∞\(\int_{-\infty}^{\infty} = \int_{-\infty}^c + \int_c^{\infty}\) — beide Teilintegrale müssen konvergieren!

Polstellen DEF

Pol links: \(\int_a^b f = \lim_{x\to a^+} \int_x^b f(t)\,dt\) Pol rechts: \(\int_a^b f = \lim_{x\to b^-} \int_a^x f(t)\,dt\) Pol innen (c): \(\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b\) → beide getrennt konvergent!
p-Integrale ★

p-Integrale SATZ

Unbedingt auswendig — extrem wichtige Tabelle!
\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx\) konvergiert \(\Leftrightarrow\) \(p > 1\) \(\int_0^1 \frac{1}{x^p} \, dx\) konvergiert \(\Leftrightarrow\) \(p < 1\)
Beweisidee\(\int x^{-p} = \frac{x^{1-p}}{1-p}\); \(x^{1-p} \to 0 \Leftrightarrow p>1\)

Standardbeispiele

\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\)\(= 1\) → konvergent (Stammfkt. \(-\frac{1}{x}\))
\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x}\)\(\ln(R) \to \infty\) → divergent
\(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\)\(= 2\) → konvergent (Stammfkt. \(2\sqrt{x}\))
\(\int_0^1 \frac{1}{x}\)\(\ln(x) \to -\infty\) → divergent
\(\int_0^{\infty} e^{-x}\)\(= 1\) → konvergent
\(\int_0^{\infty} e^{-ax}\)\(= \frac{1}{a}\)  \((a > 0)\)
\(\int_0^{\infty} \sin(x)\)divergent (\(-\cos\) hat keinen Grenzwert)
Kriterien

Majorantenkriterium (Integrale) SATZ

\(0 \le f(x) \le g(x)\) \((x \ge a)\) \(\int_a^{\infty} g\) konvergiert \(\Rightarrow\) \(\int_a^{\infty} f\) konvergiert
Vorauss.\(f,g \ge 0\) · \(f \le g\) · größeres Integral konv.
Beispiel\(\frac{1}{x^2+1} \le \frac{1}{x^2}\) \(\Rightarrow\) konvergent

Minorantenkriterium (Integrale) SATZ

\(0 \le g(x) \le f(x)\) \(\int_a^{\infty} g\) divergiert \(\Rightarrow\) \(\int_a^{\infty} f\) divergiert
Beispiel\(\frac{1}{x+1} \ge \frac{1}{2x}\), \(\int \frac{1}{x}\) div. \(\Rightarrow\) divergent

Grenzvergleichskriterium SATZ

\(f, g > 0\), \(\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = c\), \(0 < c < \infty\) \(\Rightarrow\) \(\int f\) und \(\int g\) haben dasselbe Konvergenzverhalten
Vorauss.\(f,g\) positiv · Grenzwert existiert · \(c\) endlich & positiv
Beispiel\(\frac{x}{x^2+1} \sim \frac{1}{x}\), \(\int \frac{1}{x}\) div. \(\Rightarrow\) divergent

Absolute Konvergenz SATZ

Def.: absolut konvergent, wenn \(\int |f(x)|\,dx\) konvergiert.
SatzAbsolut konvergent \(\Rightarrow\) konvergent
Beispiel\(\int_1^{\infty} \frac{\sin(x)}{x^2} \, dx\) abs. konv., da \(\frac{|\sin x|}{x^2} \le \frac{1}{x^2}\)
Gegenbsp.\(\int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx\) konvergiert, aber nicht absolut

Integralkriterium für Reihen SATZ ★

Das wichtigste Resultat dieses Kapitels! Alle 4 Vorauss. angeben!
\(f: [1,\infty) \to \mathbb{R}\) mit • \(f\) stetig • \(f(x) \ge 0\) • \(f\) monoton fallend • \(a_n = f(n)\) \(\Rightarrow\) \(\sum a_n\) konv. \(\Leftrightarrow\) \(\int_1^{\infty} f(x)\,dx\) konv.
p-Reihen\(f=\frac{1}{x^p}\) \(\Rightarrow\) \(\sum \frac{1}{n^p}\) konv. \(\Leftrightarrow\) \(p>1\)
harmonisch\(f=\frac{1}{x}\): \(\int = \ln(x)\), \(1..\infty = \infty\) \(\Rightarrow\) \(\sum \frac{1}{n}\) divergent

Entscheidungsschema uneig. Integrale

» Unendliche Grenze / Polstelle finden » Grenzwertdefinition ansetzen » Direkt integrieren » Sonst: Vergleich, Grenzvergleich, p-Integrale, e-Funktionen » Absolute Konvergenz prüfen

★ Übersichtstabelle

\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\)konv. \(\Leftrightarrow\) \(p > 1\)
\(\int_0^1 \frac{1}{x^p}\)konv. \(\Leftrightarrow\) \(p < 1\)
\(\int_0^{\infty} e^{-ax}\)konv. \(\Leftrightarrow\) \(a > 0\) (\(= \frac{1}{a}\))
\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x}\)divergent
\(\int_0^1 \frac{1}{x}\)divergent
\(\int_0^{\infty} \sin(x)\)divergent
Funktionen in mehreren Variablen
Bei den Extrema ist nur der lokale Fall prüfungsrelevant.
Grundbegriffe

Definition

Abbildung \(f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), jedem Vektor \(x = (x_1,...,x_n)\) wird genau eine reelle Zahl zugeordnet.
Beispiele\(x^2+y^2\), \(xyz\), \(e^{x+y}\), \(\ln(x^2+y^2)\) (D: \(x^2+y^2>0\))
Graph2 Variablen: Fläche im \(\mathbb{R}^3\): \(z = f(x,y)\)
\(z=x^2+y^2\)Paraboloid
\(z=x^2-y^2\)Sattelfläche

Definitionsbereich bestimmen ★

Eine der häufigsten Prüfungsaufgaben!
\(\ln(g)\)Vorauss.: \(g > 0\)  Bsp: \(\ln(x^2+y^2-1)\): \(x^2+y^2>1\)
\(\sqrt{g}\)Vorauss.: \(g \ge 0\)  Bsp: \(\sqrt{4-x^2-y^2}\): \(x^2+y^2\le 4\)
\(1/g\)Vorauss.: \(g \ne 0\)  Bsp: \(1/(x^2+y^2)\): \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\)
Kombinationalle Bedingungen gleichzeitig! Bsp: \(\ln(\sqrt{1-x^2-y^2})\): \(x^2+y^2<1\)

Niveaumengen

\(N_c = \{(x,y) : f(x,y) = c\}\)
\(x^2+y^2\)Kreise mit Radius \(\sqrt{c}\)
\(x+y\)Geraden \(x+y = c\)
\(xy\)Hyperbeln \(xy = c\)
Grenzwert & Stetigkeit

Grenzwert (mehrdim.) ★

Def.: \(\lim_{x\to a} f(x) = L\), falls für jede Folge \(x_n \to a\) auch \(f(x_n) \to L\).
KernideeGrenzwert muss wegunabhängig sein!
Prüfungsprinzip: verschiedene Wege! Bsp: \(f(x,y) = xy/(x^2+y^2)\) Weg y=0: \(f(x,0) = 0\) Weg y=x: \(f(x,x) = x^2/(2x^2) = 1/2\) verschieden ⇒ Grenzwert existiert NICHT
Diese Aufgabenart ist äußerst prüfungsrelevant!

Stetigkeit (mehrdim.) SATZ

Def.: f stetig in a ⇔ \(\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\).
stetig sindPolynome, rationale Fkt. (Nenner \(\ne 0\)), exp, ln, trig. Fkt., Wurzeln (je auf Def.-Bereich)
Verkettungf, g stetig ⇒ \(f(g(x))\) stetig
Partielle Ableitungen

Definition: partielle Ableitung ★

\(\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\) y wird konstant gehalten!
Notationen\(f_x\), \(\frac{\partial f}{\partial x}\), \(D_1f\)
Interpretation\(\partial/\partial x\): Bewegung parallel zur x-Achse (eine Variable verändern, Rest konstant)

Rechenregeln (wie 1D)

Linearität\((f+g)_x = f_x+g_x\)
Produkt\((fg)_x = f_xg + fg_x\)
Quotient\((f/g)_x = \frac{f_xg-fg_x}{g^2}\)
Kette\((f(g(x,y)))_x = f'(g)\cdot g_x\)
Beispiel\(\sin(x^2+y^2): f_x = \cos(x^2+y^2)\cdot 2x\)

Beispiele

\(x^2y+y^3\)\(f_x=2xy, f_y=x^2+3y^2\)
\(e^{xy}\)\(f_x=ye^{xy}, f_y=xe^{xy}\)
\(\ln(x^2+y^2)\)\(f_x=2x/(x^2+y^2), f_y=2y/(x^2+y^2)\)
\(x^y (x>0)\)\(= e^{y \ln x}: f_x=yx^{y-1}, f_y=x^y\ln(x)\)

Satz von Schwarz SATZ ★

Höhere Ableitungen: \(f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}, f_{yx}\).
\(f \in C^2 \Rightarrow f_{xy} = f_{yx}\)
Vorauss.!stetige zweite partielle Ableitungen (\(f \in C^2\)) — immer nennen!
Beispiel\(x^2y^3: f_{xy} = f_{yx} = 6xy^2\) ✓
Differentialrechnung in mehreren Variablen
Gradient

Definition: Gradient ★

\(\nabla f(x) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_n})\)
Schreibweisen\(\nabla f\), grad f, \((f_x, f_y)\)
Beispiel\(f=x^2+y^2: \nabla f = (2x, 2y)\)
geometrischzeigt in Richtung des stärksten Anstiegs, steht senkrecht auf Niveaulinien
Satz\(\nabla f \perp\) Niveaulinie \(f=c\)  Vorauss.: \(\nabla f \ne 0\)

Richtungsableitung SATZ

Def.: \(D_u f(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+hu) - f(a)}{h}\) Vorauss.: \(|u| = 1\) (Einheitsvektor) Wichtigste Formel (f diff'bar): \(D_u f(a) = \nabla f(a) \cdot u\)
Beispiel\(f=x^2+y^2\), Punkt (1,1): \(\nabla f=(2,2)\); \(u=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})\): \(D_u f = 4/\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)

Stärkster Anstieg SATZ

Satzgrößte Richtungsableitung in Richtung \(\nabla f\); Maximalwert = \(|\nabla f(a)|\)
Vorauss.f differenzierbar
Abnahmestärkste Abnahme in Richtung \(-\nabla f(a)\)
Differential & Tangentialebene

Totales Differential

\(df = f_x dx + f_y dy\) allgemein: \(df = \sum \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i\) Lineare Approximation: \(\Delta f \approx df\) \(f(x+\Delta x, y+\Delta y) \approx f(x,y) + f_x \Delta x + f_y \Delta y\)
Beispiel\(f=x^2+y^2: df = 2x\,dx+2y\,dy\); in (1,2): \(df = 2\,dx+4\,dy\)

Differenzierbarkeit SATZ

Def.: f diff'bar in a \(\Leftrightarrow\) \(f(a+h) = f(a) + L(h) + o(|h|)\) L linear; 2D: \(L(h,k) = f_x h + f_y k\)
Satzerste part. Ableitungen stetig in Umgebung \(\Rightarrow\) f differenzierbar
Vorauss.\(f \in C^1\) — hinreichend, nicht notwendig

Tangentialebene ★

\(z = f(x_0,y_0)\) \(+ f_x(x_0,y_0)(x-x_0)\) \(+ f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)
Vorauss.f differenzierbar
Beispiel\(f=x^2+y^2\) in (1,1): \(z = 2+2(x-1)+2(y-1) = 2x+2y-2\)

Normalenvektor

Fläche F(x,y,z)=c\(\nabla F\) ist Normalenvektor
BeispielKugel \(x^2+y^2+z^2=1\): Normale \((2x,2y,2z)\)
Kettenregel & Matrizen

Kettenregel (mehrdim.) SATZ

\(z = f(x(t), y(t))\) \(\Rightarrow \frac{dz}{dt} = f_x \cdot \frac{dx}{dt} + f_y \cdot \frac{dy}{dt}\)
Beispiel\(f=x^2+y^2, x=t, y=t^2: \frac{dz}{dt} = 2t+4t^3\)

Jacobi-Matrix

Für \(F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\):
\(J_F = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)\) Bsp: F(x,y) = (x²+y, xy): \(J = \begin{pmatrix} 2x & 1 \\ y & x \end{pmatrix}\)
m = 1Jacobi-Matrix = Gradient

Hesse-Matrix ★

Alle zweiten partiellen Ableitungen — wichtig für die lokalen Extrema!
\(H_f = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}\)
Vorauss.\(f \in C^2\) \(\Rightarrow\) nach Schwarz symmetrisch
Beispiel\(f=x^2+xy+y^2: H = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)

Lineare Approximation / Fehler

\(\Delta f \approx f_x \Delta x + f_y \Delta y\) Fehler: \(o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})\) Bsp: f=√(x²+y²), Punkt (3,4): \(\nabla f = (3/5, 4/5)\) \(\Delta x=0.1, \Delta y=0.2\): \(\Delta f \approx 0.06+0.16 = 0.22\)

★ Formelübersicht

Gradient\(\nabla f = (f_x, f_y)\)
Richtungsabl.\(D_u f = \nabla f \cdot u\)
max. Richt.-Abl.\(|\nabla f|\)
tot. Differential\(df = f_x dx + f_y dy\)
Tangentialebene\(z = f_0 + f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0)\)
Jacobi\(J = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)\)
Hesse\(H = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\right)\)
Kettenregel\(\frac{dz}{dt} = f_x \cdot x' + f_y \cdot y'\)
Lokale Extrema (mehrdim.)
Nur lokale Extrema prüfungsrelevant. Hesse-Matrix + Determinante = zentrale Rolle.
Definitionen

Lokales Max / Min

Maximum\(f(x,y) \le f(a,b)\) für alle Punkte mit \(||(x,y)-(a,b)|| < \epsilon\)
Minimum\(f(x,y) \ge f(a,b)\) in genügend kleiner Umgebung
Extremum= Maximum oder Minimum

Kritische Punkte & notwendige Bedingung SATZ

Def. kritischer Punkt: \(f_x(a,b) = 0\) und \(f_y(a,b) = 0\) \(\Leftrightarrow \nabla f(a,b) = 0\) Satz (notwendig): lok. Extremum + f diff'bar \(\Rightarrow \nabla f(a,b) = 0\)
Vorauss.f differenzierbar · lokales Extremum existiert
Achtung: Umkehrung gilt nicht! \(f=x^2-y^2\): \(\nabla f(0,0)=(0,0)\), aber Sattelpunkt, kein Extremum.
Hesse-Kriterium ★

Determinantenkriterium SATZ ★

Das wichtigste Kriterium des Kapitels! Vorauss.: \(f \in C^2\), kritischer Punkt.
\(D = f_{xx}(a,b)\cdot f_{yy}(a,b) - (f_{xy}(a,b))^2\) \(D > 0, f_{xx} > 0 \Rightarrow\) lok. MINIMUM \(D > 0, f_{xx} < 0 \Rightarrow\) lok. MAXIMUM \(D < 0 \Rightarrow\) SATTELPUNKT \(D = 0 \Rightarrow\) keine Aussage!
Vorauss.\(f \in C^2\) · kritischer Punkt (\(f_x=f_y=0\)) · jeweilige D-/f_xx-Bedingung
D = 0andere Methoden verwenden (direkte Betrachtung)

Schema: lokale Extrema bestimmen

» Gradient: \(\nabla f = (f_x, f_y)\) » Kritische Punkte: \(f_x=0, f_y=0\) » Zweite Ableitungen: \(f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}\) » \(D = f_{xx}\cdot f_{yy} - f_{xy}^2\) » Hesse-Kriterium anwenden
Beispiele

Beispiel: Minimum

\(f = x^2+y^2\) \(\nabla f = (2x,2y) \Rightarrow\) krit. Punkt \((0,0)\) \(f_{xx}=2, f_{yy}=2, f_{xy}=0\) \(D = 4 > 0, f_{xx} > 0\) \(\Rightarrow\) lokales Minimum

Beispiel: Maximum

\(f = -x^2-y^2\) \(\nabla f = (-2x,-2y) \Rightarrow (0,0)\) \(H = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\) \(D = 4 > 0, f_{xx} < 0\) \(\Rightarrow\) lokales Maximum

Beispiel: Sattelpunkt

\(f = x^2-y^2\) \(\nabla f = (2x,-2y) \Rightarrow (0,0)\) \(H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\) \(D = -4 < 0\) \(\Rightarrow\) Sattelpunkt

Beispiel: degenerierter Fall (D=0)

\(f = x^4+y^4\) \(\nabla f = (4x^3,4y^3) \Rightarrow (0,0)\) \(f_{xx} = 12x^2, f_{yy} = 12y^2\) im Ursprung: \(D = 0 \Rightarrow\) Kriterium versagt! direkt: \(x^4+y^4 \ge 0\) \(\Rightarrow\) trotzdem Minimum
Globale Extrema

Satz von Weierstraß (mehrdim.) SATZ

Def.: globales Max: \(f(a,b) \ge f(x,y)\) für alle Punkte im Def.-Bereich.
\(D \subset \mathbb{R}^n\) abgeschlossen & beschränkt \(f: D \to \mathbb{R}\) stetig \(\Rightarrow\) f besitzt globales Max UND Min
Vorauss.D kompakt · f stetig
HinweisNebenbedingungen \(g(x,y)=0\) \(\to\) Lagrange-Multiplikatoren (i.d.R. nicht mehr Analysis-1-Stoff)
Allgemeine Rechenregeln
Grundlagen-Werkzeugkasten — gilt für alle Kapitel.
Potenzen, Wurzeln & Logarithmen

Potenzgesetze

Für \(a,b>0\) und reelle Exponenten:
Produkt\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
Quotient\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
Potenz\((a^m)^n = a^{mn}\)
Produkt-Basis\((ab)^n = a^n b^n\)
Quot.-Basis\(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\)
negativ\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
Null / Eins\(a^0 = 1,\ a^1 = a\)
Wurzel-Exp.\(a^{1/n} = \sqrt[n]{a},\ a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\)

Wurzelgesetze

Für \(a,b \ge 0\) (bzw. \(b>0\) bei Quotient):
Produkt\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}\)
Quotient\(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
n-te Wurzel\(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\)
verschachtelt\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\)
Achtung: \(\sqrt{a^2} = |a|\) (nicht \(a\)!)

Logarithmengesetze

Für \(x,y>0\), Basis \(a>0, a\neq 1\):
Produkt\(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\)
Quotient\(\log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\)
Potenz\(\log_a(x^r) = r\log_a x\)
Basiswechsel\(\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\)
Umkehrung\(a^{\log_a x} = x,\ \log_a(a^x) = x\)
Werte\(\log_a 1 = 0,\ \log_a a = 1\)

Natürlicher Logarithmus \(\ln\)

\(\ln = \log_e\), Basis \(e\). Umkehrfunktion von \(e^x\) (\(x>0\)).
Werte\(\ln 1 = 0,\ \ln e = 1,\ \ln e^x = x\)
Umkehr\(e^{\ln x} = x\) (\(x>0\))
Produkt\(\ln(xy) = \ln x + \ln y\)
Quotient\(\ln\frac{x}{y} = \ln x - \ln y\)
Kehrwert\(\ln\frac{1}{x} = -\ln x\)
Potenz\(\ln(x^r) = r\ln x\)
Wurzel\(\ln\sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}\ln x\)
Basis wechs.\(a^x = e^{x\ln a}\)
Ableitung\((\ln x)' = \frac{1}{x}\), \((\ln|x|)' = \frac{1}{x}\)
Integral\(\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C\)
Grenzwerte\(\frac{\ln(1+x)}{x} \to 1\) (\(x\to0\)); \(\frac{\ln x}{x} \to 0\) (\(x\to\infty\))
Formeln & Brüche

Binomische Formeln

1.\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
2.\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
3.\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
Kubik\((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
Faktor.\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
Lehrsatz\((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\)

Bruchrechnen

Add./Sub.\(\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}\)
Produkt\(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\)
Quotient\(\frac{a/b}{c/d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}\)
Kürzen\(\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}\) (\(c\neq 0\))
Betrag & Ungleichungen

Betrag

Def.\(|a| = a\) falls \(a\ge0\), sonst \(-a\)
Produkt\(|ab| = |a|\,|b|,\ \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}\)
Dreieck\(|a+b| \le |a| + |b|\)
umgekehrt\(\big||a|-|b|\big| \le |a-b|\)
Auflösen\(|a| \le c \Leftrightarrow -c \le a \le c\)

Ungleichungen

Addition\(a<b \Rightarrow a+c<b+c\)
\(\cdot\) positiv\(a<b,\ c>0 \Rightarrow ac<bc\)
\(\cdot\) negativ\(a<b,\ c<0 \Rightarrow ac>bc\) (dreht um!)
Kehrwert\(0<a<b \Rightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{b}\)
AM–GM\(\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}\) (\(a,b\ge0\))
Bernoulli\((1+x)^n \ge 1+nx\) (\(x\ge-1\))
Summen & Fakultät

Wichtige Summen

Gauß\(\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\)
Quadrate\(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Kuben\(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)
geometr.\(\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) (\(q\neq1\))

Fakultät & Binomialkoeffizient

Fakultät\(n! = 1\cdot2\cdots n,\ 0! = 1\)
Binom.-Koeff.\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Symmetrie\(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)
Pascal\(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)
Ränder\(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\)
— ENDE · VIEL ERFOLG —