Nur Definitionen
Folgen
Reihen
Asympt.
Elem.Fkt
Stetig
Abl.
Taylor
∫ unbest.
∫ best.
∫ uneig.
Mehrdim
Grad
Extrema
Rechenregeln
ANALYSIS 1 — PRÜFUNGS-CHEATSHEET
Alle Sätze mit Voraussetzungen
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 4 · Folgen, Reihen & Funktionen
Folgen reeller Zahlen
Unendliche Reihen
Asymptotischer Vergleich
Elementare Funktionen
Grenzwerte von Funktionen & Stetigkeit
Kapitel 5 · Differential- & Integralrechnung
Die Ableitung
Taylor-Formel & Mittelwertsatz
Das unbestimmte Integral
Das bestimmte Integral
Uneigentliche Integrale
Kapitel 6 · Funktionen mehrerer Variablen
Funktionen in mehreren Variablen
Differentialrechnung in mehreren Variablen
Lokale Extrema (mehrdim.)
Anhang · Grundlagen
Allgemeine Rechenregeln
Folgen reeller Zahlen
Grundbegriffe
Definition: Folge
Eine Folge ist eine Abbildung \(a: \mathbb{N} \to \mathbb{R},\ n \mapsto a_n\) .
Schreibweise \((a_n)_{n \in \mathbb{N}} = a_1, a_2, a_3, \ldots\)
Grenzwert (ε-N-Definition)
Muss in der Prüfung exakt beherrscht werden!
\((a_n)\) konvergiert gegen \(a \in \mathbb{R}\) , wenn:
\(\forall \varepsilon>0\ \exists N \in \mathbb{N}\), sodass \(\forall n \ge N\):
\(|a_n - a| < \varepsilon\)
Notation \(\lim_{n\to\infty} a_n = a\) oder \(a_n \to a\)
sonst Folge divergiert
Nullfolgen
Folge mit \(\lim a_n = 0\) .
\(\frac{1}{n}\) \(\to 0\)
\(\frac{1}{n^k}\) \(\to 0\) (\(k > 0\))
\(\frac{\ln(n)}{n}\) \(\to 0\)
\(q^n\) \(\to 0\) (\(|q| < 1\))
\(\frac{n}{2^n}\) \(\to 0\)
\(\frac{n!}{n^n}\) \(\to 0\)
Supremum & Infimum SATZ
\(\sup M\) = kleinste obere Schranke, \(\inf M\) = größte untere Schranke von \(M \subseteq \mathbb{R}\).
Vollständigkeit Jede nach oben beschränkte, nichtleere Menge \(M \subseteq \mathbb{R}\) besitzt ein \(\sup\)
vs. max/min \(\sup/\inf\) müssen nicht angenommen werden
Beispiel \(M=(0,1)\) : \(\inf=0,\ \sup=1\), aber kein min/max
Zentrale Sätze
Eindeutigkeit des Grenzwerts SATZ
Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert.
Vorauss. Folge ist konvergent
Folgerung Zwei verschiedene Grenzwerte unmöglich
Beschränktheit SATZ
Def.: \((a_n)\) beschränkt \(\Leftrightarrow \exists M>0\) mit \(|a_n| \le M\) für alle n.
Satz Konvergent ⇒ beschränkt
Vorauss. a_n konvergiert
Achtung: Umkehrung gilt nicht ! Gegenbeispiel: \(a_n = (-1)^n\) ist beschränkt, aber nicht konvergent.
Monotonie
mon. wachsend \(a_n \le a_{n+1}\) \(\forall n\)
streng mon. w. \(a_n < a_{n+1}\) \(\forall n\)
mon. fallend \(a_n \ge a_{n+1}\) \(\forall n\)
Monotone Konvergenz SATZ
Extrem prüfungsrelevant — löst viele Rekursionsaufgaben!
Fall mon. wachsend + nach oben beschränkt (\(a_n \le a_{n+1},\ a_n \le M\) )
Fall mon. fallend + nach unten beschränkt (\(a_n \ge a_{n+1},\ a_n \ge m\) )
Dann \(\lim a_n\) existiert \(\Rightarrow\) Folge konvergiert
Cauchy-Folge & Vollständigkeit SATZ
Def.: \((a_n)\) Cauchy-Folge \(\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0\ \exists N:\ |a_n - a_m| < \varepsilon\ \forall n,m \ge N\).
Satz In \(\mathbb{R}\): konvergent \(\Leftrightarrow\) Cauchy-Folge (Vollständigkeit)
Nutzen Konvergenz zeigen, ohne den Grenzwert zu kennen
Rechenregeln für Grenzwerte SATZ
Seien \(a_n \to a\) und \(b_n \to b\) . Dann:
Addition \(\lim(a_n+b_n) = a+b\)
Subtraktion \(\lim(a_n-b_n) = a-b\)
Multiplikation \(\lim(a_n b_n) = ab\)
Division \(\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}\) Vorauss.: \(b \neq 0\) , \(b_n \neq 0\) für große n
Betrag \(\lim |a_n| = |a|\)
Potenzen \(\lim (a_n)^k = a^k\) (\(k \in \mathbb{N}\))
Wurzeln \(\lim \sqrt{a_n} = \sqrt{a}\) Vorauss.: \(a_n \ge 0,\ a \ge 0\)
Sandwich-Theorem SATZ
Einschließungsprinzip — wurde direkt in Prüfungen abgefragt.
\(a_n \le b_n \le c_n\) (\(\forall n \ge N\))
\(\lim a_n = L\) und \(\lim c_n = L\)
\(\Rightarrow \lim b_n = L\)
Vorauss. \(a_n \le b_n \le c_n\) ab einem Index
Vorauss. beide äußere Folgen haben denselben Grenzwert
Standardgrenzwerte & Wachstum
Wichtige Standardgrenzwerte
Praktisch auswendig beherrschen!
Polynome \(\frac{1}{n^k} \to 0\) (\(k>0\))
ln vs Potenz \(\frac{\ln(n)}{n^\alpha} \to 0\) (\(\alpha>0\))
Exponentiell \(q^n \to 0\) (\(|q|<1\))
n! vs a^n \(\frac{n!}{a^n} \to \infty\) (\(a>0\) fest)
Potenz vs a^n \(\frac{n^k}{a^n} \to 0\) (\(a>1\))
Wachstumshierarchie ★
Eine der wichtigsten Merkhilfen der gesamten Analysis.
\(\ln(n) \ll n^\alpha \ll a^n \ll n! \ll n^n\)
(\(\alpha > 0,\ a > 1\))
Die Zahl e als Grenzwert ★
Einer der wichtigsten Grenzwerte — unbedingt auswendig!
Definition \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e\)
allgemein \(\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \to e^x\)
Reihe \(e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\)
Rekursion & Häufungspunkte
Rekursive Folgen — Schema
» Wohldefiniertheit zeigen
» Monotonie (Induktion)
» Beschränktheit (Induktion)
» Monotoniekriterium anwenden
» Grenzwert: \(L = f(L)\) lösen
Häufungspunkte & Bolzano-Weierstraß SATZ
Def.: \(a\) heißt Häufungspunkt von \((a_n)\), wenn eine Teilfolge existiert, die gegen \(a\) konvergiert.
Satz B-W Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge
Vorauss. (a_n) beschränkt
Folgerung mind. ein Häufungspunkt existiert
Unendliche Reihen
Grundbegriffe
Definition: Reihe
Die Reihe \(\sum a_n\) ist definiert über die Partialsummenfolge .
Partialsumme \(s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n\)
konvergent wenn \(\lim s_n = s\) existiert; dann \(\sum a_n = s\)
divergent wenn kein Grenzwert existiert
Gaußsche Summenformel
Klassisches Beispiel einer endlichen Partialsumme — per Induktion beweisbar.
\(\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}\)
Herleitung Summe zweimal (vorwärts + rückwärts) addieren: \(n \cdot (n+1)\) , dann halbieren
verwandt \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Notwendige Bedingung SATZ
\(\sum a_n\) konvergiert ⇒ \(a_n \to 0\) .
Vorauss. Reihe konvergiert
Folgerung \(\lim a_n = 0\)
Achtung: Umkehrung gilt nicht ! \(\sum \frac{1}{n}\) divergiert, obwohl \(\frac{1}{n} \to 0\) . (Bereits in Prüfungen abgefragt.)
Wichtige Reihen
Geometrische Reihe SATZ
Konvergiert genau dann , wenn \(|q| < 1\) .
\(\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}\) (\(|q| < 1\))
\(|q| \ge 1\) divergent
\(\sum (1/2)^n\) konvergent
\(\sum (-1/3)^n\) konvergent
\(\sum 2^n, \sum (-1)^n\) divergent
Harmonische Reihe SATZ
Satz \(\sum \frac{1}{n} = \infty\) → divergent
p-Reihen (hyperharmonisch) SATZ
\(\sum \frac{1}{n^p}\) konvergiert genau dann , wenn \(p > 1\) .
\(\sum 1/n^2, \sum 1/n^3\) konvergent
\(\sum 1/\sqrt{n}, \sum 1/n\) divergent (\(p \le 1\))
Konvergenzkriterien
Majorantenkriterium SATZ
\(0 \le a_n \le b_n\) (n groß)
\(\sum b_n\) konvergiert \(\Rightarrow\) \(\sum a_n\) konvergiert
Vorauss. \(a_n \ge 0\) · \(a_n \le b_n\) · \(\sum b_n\) konv.
Vergleiche mit geom. Reihen, p-Reihen, Exponentialreihen
Beispiel \(\frac{1}{n^2+1} \le \frac{1}{n^2}\) , \(\sum 1/n^2\) konv. ⇒ konvergent
Minorantenkriterium SATZ
Wurde in Prüfungen explizit verlangt!
\(0 \le b_n \le a_n\) (n groß)
\(\sum b_n\) divergiert \(\Rightarrow\) \(\sum a_n\) divergiert
Vorauss. \(a_n \ge 0\) · \(b_n \le a_n\) · \(\sum b_n\) div.
Beispiel \(\frac{1}{n+1} \ge \frac{1}{2n}\) , \(\sum 1/n\) div. ⇒ divergent
Quotientenkriterium SATZ
\(L = \lim \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)\) (\(a_n > 0\))
\(L < 1 \Rightarrow\) konvergent
\(L > 1 \Rightarrow\) divergent
\(L = 1 \Rightarrow\) keine Aussage
Vorauss. \(a_n > 0\) · Grenzwert existiert
Typisch für Fakultäten, Exponentialfkt., Potenzreihen
Beispiel \(\sum n!/2^n: (n+1)/2 \to \infty\) ⇒ divergent
Wurzelkriterium SATZ
\(L = \limsup |a_n|^{1/n}\)
\(L < 1 \Rightarrow\) konvergent
\(L > 1 \Rightarrow\) divergent
\(L = 1 \Rightarrow\) keine Aussage
Typisch für Potenzreihen, Ausdrücke mit n-ter Potenz
Beispiel \(\sum (3/4)^n\) : n-te Wurzel = \(3/4 < 1\) ⇒ konvergent
Integralkriterium SATZ
\(\sum a_n\) konvergiert \(\Leftrightarrow\) \(\int_1^{\infty} f(x)\,dx\) konvergiert
Vorauss. f stetig · \(f \ge 0\) · f mon. fallend · \(a_n = f(n)\)
Beispiel \(f(x)=1/x^p\) : Integral konv. \(\Leftrightarrow\) \(p>1\) ⇒ \(\sum 1/n^p\) konv. \(\Leftrightarrow\) \(p>1\)
Absolute Konvergenz & Alternierende Reihen
Absolute Konvergenz SATZ
Def.: \(\sum a_n\) heißt absolut konvergent, wenn \(\sum |a_n|\) konvergiert.
Satz Absolut konvergent ⇒ konvergent
Beispiel \(\sum (-1)^n/n^2\) abs. konv., da \(\sum 1/n^2\) konv.
Leibniz-Kriterium SATZ
\(\sum (-1)^n a_n\) konvergiert, falls:
• \(a_n \ge 0\)
• a_n monoton fallend
• \(a_n \to 0\)
Beispiel \(\sum (-1)^n/n\) konvergent , aber \(\sum 1/n\) divergent ⇒ nicht absolut konvergent
Cauchy-Produkt SATZ
Für \(A = \sum a_n, B = \sum b_n\):
\(c_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + ... + a_n b_0\)
\(\sum c_n = (\sum a_n)(\sum b_n)\)
Vorauss. Absolute Konvergenz beider Reihen — unbedingt erwähnen!
Potenzreihen
Potenzreihen & Konvergenzradius SATZ
Def.: \(\sum a_n(x-x_0)^n\) . Regelmäßig in Theorie- & MC-Fragen!
Radius R \(|x-x_0| < R\) : Konvergenz ; \(|x-x_0| > R\) : Divergenz
Rand \(|x-x_0| = R\) : gesondert untersuchen
Quotientenformel \(R = \lim |a_n/a_{n+1}|\) (falls existent)
Wurzelformel \(R = 1 / \limsup |a_n|^{1/n}\)
Vergleichsreihen (auswendig!)
\(\sum q^n\) konv. \(\Leftrightarrow\) \(|q| < 1\)
\(\sum 1/n\) divergent
\(\sum 1/n^p\) konv. \(\Leftrightarrow\) \(p > 1\)
\(\sum 1/n!\) konvergent
Entscheidungsschema Reihen
» \(a_n \to 0\)? Nein ⇒ divergent, fertig
» Vergleich: \(1/n^p, q^n, n!/a^n\)
» Majoranten-/Minorantenkriterium
» Quotientenkriterium
» Wurzelkriterium
» Integralkriterium
» Randfälle separat
Asymptotischer Vergleich
Besonders prüfungsrelevant! Prüfung 13.12.2024: Definition \(a_n \sim b_n\) + Stirling-Formel.
Asymptotische Gleichheit
Definition: \(a_n \sim b_n\)
\(a_n \sim b_n \Leftrightarrow \lim \left(\frac{a_n}{b_n}\right) = 1\)
Vorauss. \(b_n \neq 0\) für große n
Bedeutung relativer Fehler verschwindet für große n
\(n^2+n\) \(\sim n^2\) (denn \(1+\frac{1}{n} \to 1\) )
\(2n^2+5n\) \(\sim 2n^2\)
\(\ln(n+1)\) \(\sim \ln(n)\)
\(\sin(1/n)\) \(\sim \frac{1}{n}\)
\(e^{1/n}-1\) \(\sim \frac{1}{n}\)
Rechenregeln für \(\sim\) SATZ
Seien \(a_n \sim b_n\) und \(c_n \sim d_n\) . Dann:
Multiplikation \(a_n c_n \sim b_n d_n\)
Division \(\frac{a_n}{c_n} \sim \frac{b_n}{d_n}\) Vorauss.: \(c_n,d_n \neq 0\)
Potenzen \((a_n)^k \sim (b_n)^k\) (\(k \in \mathbb{N}\))
Landau-Symbole
O-Notation (Groß-O)
\(a_n = O(b_n) \Leftrightarrow \exists C>0, N:\)
\(|a_n| \le C|b_n| \ \forall n \ge N\)
Bedeutung a_n wächst höchstens so schnell wie b_n
Beispiele \(n^2+n = O(n^2)\) , \(\ln(n) = O(n)\) , \(n = O(2^n)\)
o-Notation (Klein-o)
\(a_n = o(b_n) \Leftrightarrow \lim \left(\frac{a_n}{b_n}\right) = 0\)
Beispiele \(\ln(n) = o(n)\) , \(n = o(n^2)\) , \(n^2 = o(2^n)\)
\(\Theta\)-Notation
Bereits in Multiple-Choice-Aufgaben geprüft!
\(a_n = \Theta(b_n) \Leftrightarrow \exists c_1,c_2>0:\)
\(c_1|b_n| \le |a_n| \le c_2|b_n| \ (n \text{ groß})\)
Bedeutung dieselbe Wachstumsordnung
Beispiele \(n^2+n = \Theta(n^2)\) , \(3n+7 = \Theta(n)\) , \(2^n+n^3 = \Theta(2^n)\)
Wachstumshierarchie (genau)
\(1 \ll \ln(n) \ll n^\alpha \ll a^n \ll n! \ll n^n\)
(\(\alpha > 0,\ a > 1\))
\(\ln(n) = o(n^\alpha)\)
\(n^\alpha = o(a^n)\)
\(a^n = o(n!)\)
\(n! = o(n^n)\)
Stirling-Formel
Stirling-Formel SATZ
\(n! \sim \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n}\)
\(n! = \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n}(1+o(1))\)
Vorauss. \(n \to \infty\)
Anwendung Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Reihen mit n!
★ Zentraler Binomialkoeffizient
Genau diese Aufgabe kam in der Prüfung Dez. 2024!
\(\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}\)
Stirling einsetzen:
\((2n)! \sim \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n} \sqrt{4\pi n}\)
\(n! \sim \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n}\)
\(\Rightarrow \binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\)
\(\Rightarrow \binom{2n}{n}\cdot 4^{-n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\)
also \(c = \frac{1}{\sqrt{\pi}}, \ \alpha = -\frac{1}{2}\)
Standardentwicklungen (\(x \to 0\))
Asymptotische Standardentwicklungen
Praktisch auswendig — extrem nützlich für Grenzwerte!
\(\sin(x)\) \(\sim x\)
\(\tan(x)\) \(\sim x\)
\(e^x-1\) \(\sim x\)
\(\ln(1+x)\) \(\sim x\)
\(1-\cos(x)\) \(\sim \frac{x^2}{2}\)
\(\sqrt{1+x}-1\) \(\sim \frac{x}{2}\)
\(\arcsin(x)\) \(\sim x\)
\(\arctan(x)\) \(\sim x\)
\(\ln(n+1)\) \(\sim \ln(n)\) (\(n\to\infty\))
Vorgehen bei Asymptotik-Aufgaben
Polynome: höchste Potenz
\(3n^4+7n^2-5 \sim 3n^4\)
Rationale Fkt.: höchste Potenzen kürzen
\(\frac{n^2+1}{3n^2-5} \to \frac{1}{3}\)
Fakultäten: Stirling
Exponentiell: Wachstumshierarchie
Kleine Argumente: \(\sin(x)\sim x,\ \ln(1+x)\sim x,\ e^x-1\sim x\)
Typische Prüfungsaufgaben
\(n^2+3n+1\) \(\sim n^2\)
\(\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}\) \(\to 0\) (da \(\ln(n) = o(n^\alpha)\ \forall \alpha>0\))
\(\binom{2n}{n}4^{-n}\) \(\sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\) (Stirling)
\(\sum \binom{2n}{n}4^{-n}\) \(a_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi}\cdot n^{1/2}}\), Vergleich \(\sum \frac{1}{\sqrt{n}}\) div. \(\Rightarrow\) divergent
Elementare Funktionen
Eines der wichtigsten Kapitel — die gesamte Differential- und Integralrechnung baut darauf auf.
Polynome & Potenzen
Polynomfunktionen
\(f(x) = a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0\) , \(a_n \neq 0\).
Def.-Bereich \(D = \mathbb{R}\)
Eigensch. stetig auf \(\mathbb{R}\), beliebig oft differenzierbar, keine Lücken
Ableitung \((x^n)' = nx^{n-1}\) , \((af)' = af'\) , \((f+g)' = f'+g'\)
Integral \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) (\(n \neq -1\))
Potenzfunktionen \(x^{\alpha}\)
\(\alpha\) ganz \(D = \mathbb{R}\)
\(\alpha\) rational (gerader Nenner) \(D = [0,\infty)\)
\(\alpha\) irrational \(D = (0,\infty)\)
Ableitung \((x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha-1}\) (x im Def.-Bereich)
Integral \(\int x^{\alpha} \, dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\) (\(\alpha \neq -1\))
Spezialfall \(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x|+C\)
Exponential & Logarithmus
Exponentialfunktionen \(a^x\)
\(f(x) = a^x\) mit \(a > 0\), \(a \neq 1\).
\(a > 1\) streng monoton wachsend
\(0 < a < 1\) streng monoton fallend
D / W \(D = \mathbb{R}, W = (0,\infty)\)
e-Funktion \((e^x)' = e^x\) , \(\int e^x \, dx = e^x+C\)
allg. Basis \((a^x)' = a^x\ln(a)\) , \(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)}+C\)
Logarithmusfunktionen
\(y = \log_a(x) \Leftrightarrow a^y = x\) . Vorauss.: \(a>0, a\neq 1, x>0\).
D / W \(D = (0,\infty), W = \mathbb{R}\)
natürlich \(\ln(x) = \log_e(x)\)
Regeln \(\ln(xy)=\ln x+\ln y\) , \(\ln(x/y)=\ln x-\ln y\) , \(\ln(x^{\alpha})=\alpha \ln x\)
Werte \(\ln(1)=0\) , \(\ln(e)=1\)
Ableitung \((\ln x)' = \frac{1}{x}\) (x>0), \((\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\)
Integral \(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x|+C\)
Trigonometrische Funktionen
sin, cos, tan
sin \(D=\mathbb{R}, W=[-1,1]\), Periode \(2\pi\); \((\sin)'=\cos\) , \(\int \sin = -\cos+C\)
cos \((\cos)'=-\sin\) , \(\int \cos = \sin+C\)
tan \(\tan=\frac{\sin}{\cos}\) , \(D=\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}\)
tan' \(\frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x)\)
∫tan \(-\ln|\cos(x)|+C\)
Identitäten & Theoreme
Pythagoras:
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
\(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\)
Addition:
\(\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\)
\(\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\)
\(\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}\)
Doppelwinkel:
\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x\)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x\)
\(= 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x\)
Halbwinkel (für Integrale!):
\(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\)
\(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\)
Arkusfunktionen
arcsin \(D=[-1,1], W=[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\); \((\arcsin)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
arccos \((\arccos)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
arctan \((\arctan)' = \frac{1}{1+x^2}\)
Integral \(\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan(x)+C\)
Grenzwerte & Tabellen
Wichtige Grenzwerte (\(x \to 0\))
Unbedingt auswendig!
\(\frac{\sin(x)}{x}\) \(\to 1\)
\(\frac{\tan(x)}{x}\) \(\to 1\)
\(\frac{e^x-1}{x}\) \(\to 1\)
\(\frac{\ln(1+x)}{x}\) \(\to 1\)
\(\frac{1-\cos x}{x^2}\) \(\to \frac{1}{2}\)
\((1+x)^{\alpha}\) \(= 1 + \alpha x + o(x)\)
★ Tabelle: Ableitungen
\(c\) \(0\)
\(x\) \(1\)
\(x^n\) \(nx^{n-1}\)
\(x^{\alpha}\) \(\alpha x^{\alpha-1}\)
\(e^x\) \(e^x\)
\(a^x\) \(a^x \ln a\)
\(\ln x\) \(\frac{1}{x}\)
\(\log_a x\) \(\frac{1}{x \ln a}\)
\(\sin x\) \(\cos x\)
\(\cos x\) \(-\sin x\)
\(\tan x\) \(\frac{1}{\cos^2 x}\)
\(\cot x\) \(-\frac{1}{\sin^2 x}\)
\(\arcsin x\) \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arccos x\) \(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arctan x\) \(\frac{1}{1+x^2}\)
\(\sinh x\) \(\cosh x\)
\(\cosh x\) \(\sinh x\)
\(\tanh x\) \(1-\tanh^2 x\)
★ Tabelle: Differentiale
\(df = f'(x)\,dx\)
\(x^n\) \(nx^{n-1}\,dx\)
\(x^{\alpha}\) \(\alpha x^{\alpha-1}\,dx\)
\(e^x\) \(e^x\,dx\)
\(a^x\) \(a^x \ln a\,dx\)
\(\ln x\) \(\frac{dx}{x}\)
\(\log_a x\) \(\frac{dx}{x \ln a}\)
\(\sin x\) \(\cos x\,dx\)
\(\cos x\) \(-\sin x\,dx\)
\(\tan x\) \(\frac{dx}{\cos^2 x}\)
\(\cot x\) \(-\frac{dx}{\sin^2 x}\)
\(\arcsin x\) \(\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arccos x\) \(-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arctan x\) \(\frac{dx}{1+x^2}\)
\(\sinh x\) \(\cosh x\,dx\)
\(\cosh x\) \(\sinh x\,dx\)
\(\tanh x\) \((1-\tanh^2 x)\,dx\)
★ Tabelle: Stammfunktionen
\(x^n\) \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) (\(n\neq -1\))
\(\frac{1}{x}\) \(\ln|x|+C\)
\(e^x\) \(e^x+C\)
\(a^x\) \(\frac{a^x}{\ln(a)}+C\)
\(\sin(x)\) \(-\cos(x)+C\)
\(\cos(x)\) \(\sin(x)+C\)
\(\tan(x)\) \(-\ln|\cos(x)|+C\)
\(\frac{1}{\cos^2(x)}\) \(\tan(x)+C\)
\(\frac{1}{\sin^2(x)}\) \(-\cot(x)+C\)
\(\frac{1}{1+x^2}\) \(\arctan(x)+C\)
\(\frac{1}{a^2+x^2}\) \(\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C\)
\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\arcsin(x)+C\)
\(\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) \(\arcsin\frac{x}{a}+C\)
\(\sinh(x)\) \(\cosh(x)+C\)
\(\cosh(x)\) \(\sinh(x)+C\)
Grenzwerte von Funktionen & Stetigkeit
Grundlage der gesamten Differential- & Integralrechnung. Exakte Definitionen wurden direkt in Prüfungen abgefragt!
Grenzwerte
Grenzwert einer Funktion (ε-δ)
Sei \(f: D \to \mathbb{R}\) , \(x_0\) Häufungspunkt von D.
\(\lim_{x\to x_0} f(x) = L \Leftrightarrow\)
\(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\):
\(0 < |x-x_0| < \delta\)
\(\Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon\)
Vorauss. \(x_0\) Häufungspunkt des Def.-Bereichs
Hinweis f muss in \(x_0\) selbst nicht definiert sein
Einseitige Grenzwerte SATZ
rechtsseitig \(\lim_{x\to x_0^+} f(x)\)
linksseitig \(\lim_{x\to x_0^-} f(x)\)
Satz Grenzwert existiert \(\Leftrightarrow\) links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und sind gleich
Rechenregeln für Grenzwerte SATZ
Seien \(\lim f = a\) , \(\lim g = b\) :
Summe/Diff. \(\lim(f\pm g) = a\pm b\)
Produkt \(\lim(fg) = ab\)
Quotient \(\lim\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{a}{b}\) Vorauss.: \(b \neq 0\)
Potenz \(\lim f^n = a^n\)
Wurzel \(\lim \sqrt{f} = \sqrt{a}\) Vorauss.: \(a \ge 0\)
Betrag \(\lim |f| = |a|\)
Grenzwerte elementarer Funktionen
Polynome überall stetig: \(\lim P(x) = P(x_0)\)
rationale Fkt. \(\lim \frac{P}{Q} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}\) Vorauss.: \(Q(x_0) \neq 0\)
e^x \(\lim e^x = e^{x_0}\)
ln \(\lim \ln(x) = \ln(x_0)\) für \(x_0 > 0\)
sin, cos überall stetig
Stetigkeit
Definition: Stetigkeit ★
Exakte Prüfungsdefinition!
\(f\) stetig in \(x_0 \in D \Leftrightarrow\)
\(\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\)
äquivalent (ε-δ):
\(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\):
\(|x-x_0| < \delta\)
\(\Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon\)
Arten von Unstetigkeiten
hebbar \(\frac{x^2-1}{x-1}\) , \(x \neq 1\): Grenzwert existiert, \(f(1)\) fehlt
Sprungstelle \(\operatorname{sgn}(x)\) : Links-/Rechtsgrenzwert verschieden
Polstelle \(\frac{1}{x}\) : Funktionswert \(\to \pm\infty\)
oszillierend \(\sin(1/x)\) , \(x\to 0\): Grenzwert existiert nicht
Algebra stetiger Funktionen SATZ
Sind f, g stetig in \(x_0\), dann auch:
stetig \(f+g\) , \(f-g\) , \(fg\) , \(f/g\)
Vorauss. bei f/g: \(g(x_0) \neq 0\)
Verkettung stetiger Fkt. SATZ
Eine der wichtigsten Aussagen der Analysis!
Satz \(f(g(x))\) stetig in \(x_0\)
Vorauss. g stetig in \(x_0\)
Vorauss. f stetig in \(g(x_0)\)
Die großen Sätze
Zwischenwertsatz SATZ
f nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.
\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig
\(\forall y\) zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\)
\(\exists c \in [a,b]: f(c) = y\)
Vorauss. f stetig
Vorauss. abgeschlossenes Intervall \([a,b]\)
Anwendung Existenz von Nullstellen
Nullstellensatz von Bolzano SATZ
Extrem prüfungsrelevant!
\(f(a)\cdot f(b) < 0\)
\(\Rightarrow \exists c \in (a,b): f(c) = 0\)
Vorauss. f stetig auf \([a,b]\)
Vorauss. Vorzeichenwechsel
Satz von Weierstraß (Max/Min) SATZ
\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig \(\Rightarrow\) f besitzt Maximum und Minimum .
Vorauss. Stetigkeit
Vorauss. abgeschlossenes und beschränktes Intervall
Ohne Vorauss. falsch: \(f(x)=x\) auf \((0,1)\) hat weder Max noch Min (Intervall nicht abgeschlossen).
Gleichmäßige Stetigkeit & Heine-Cantor SATZ
Def. glm. stetig auf D:
\(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\) (für ALLE \(x,y \in D\)):
\(|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon\)
Unterschied normal: \(\delta\) darf von \(x_0\) abhängen; glm.: \(\delta\) hängt nur von \(\varepsilon\) ab
Heine-Cantor f stetig auf kompaktem \([a,b]\) \(\Rightarrow\) f gleichmäßig stetig
Vorauss. f stetig · \([a,b]\) kompakt
Spezielle Grenzwerte
Standardgrenzwerte (x → 0)
\(\sin(x)/x\) \(\to 1\)
\(\tan(x)/x\) \(\to 1\)
\((e^x-1)/x\) \(\to 1\)
\(\ln(1+x)/x\) \(\to 1\)
\((1-\cos x)/x^2\) \(\to 1/2\)
\((1+x)^\alpha\) \(= 1+\alpha x+o(x)\)
Unendliche Grenzwerte & Grenzwerte im Unendlichen
\(\lim f(x) = \infty\ (x\to x_0)\):
\(\forall M>0\ \exists \delta>0\):
\(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x) > M\)
Bsp: \(1/x^2 \to \infty\) für \(x\to 0\)
\(\lim f(x) = L\ (x\to \infty)\):
\(\forall \varepsilon>0\ \exists N>0\):
\(x>N \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon\)
\(1/x\) \(\to 0\)
\(\ln(x)/x\) \(\to 0\)
\(e^{-x}\) \(\to 0\)
\(\arctan(x)\) \(\to \pi/2\)
Die Ableitung
Grundlage der gesamten Differentialrechnung. Die exakte Definition wurde direkt in Prüfungen abgefragt!
Definition & Grundsatz
Definition: Ableitung ★
\(f\) differenzierbar in \(x_0\) \(\Leftrightarrow\)
\(f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)
existiert
Differenzenquot. \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) = mittlere Änderungsrate
\(f'(x_0)\) momentane Änderungsrate
geometrisch Steigung der Tangente in \((x_0, f(x_0))\)
Differenzierbar ⇒ stetig SATZ
Satz \(f\) differenzierbar in \(x_0\) \(\Rightarrow\) \(f\) stetig in \(x_0\)
Vorauss. \(f\) differenzierbar in \(x_0\)
Achtung: Umkehrung gilt nicht ! \(f(x)=|x|\) ist stetig in 0, aber nicht differenzierbar.
Ableitungsregeln
Linearität SATZ
\((\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'\)
Vorauss. \(f, g\) differenzierbar
Spezialfälle \((f\pm g)'=f'\pm g'\) , \((cf)'=cf'\)
Produktregel SATZ
\((fg)' = f'g + fg'\)
Vorauss. \(f, g\) differenzierbar
Beispiel \((x^2e^x)' = 2xe^x+x^2e^x = e^x(2x+x^2)\)
Quotientenregel SATZ
\(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}\)
Vorauss. \(f\) diff'bar · \(g\) diff'bar · \(g(x) \neq 0\)
Beispiel \(\left(\frac{x}{x+1}\right)' = \frac{1}{(x+1)^2}\)
Brüche ableiten — Beispiele ★
Merkspruch: „NAZ minus ZAN, durch N-Quadrat“ — (Nenner·Abl.Zähler − Zähler·Abl.Nenner)/Nenner².
Schema: \(f=\)Zähler, \(g=\)Nenner
\(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\)
Bsp 1: \(\frac{x^2}{x+1}\)
\(f=x^2,\ f'=2x;\quad g=x+1,\ g'=1\)
\(= \frac{2x(x+1) - x^2\cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\)
Bsp 2: \(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\)
einfacher via Potenzregel:
\(= -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}\)
Bsp 3: \(\frac{\sin x}{x}\)
\(f=\sin x,\ f'=\cos x;\quad g=x,\ g'=1\)
\(= \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}\)
Bsp 4: \(\frac{e^x}{x^2}\)
\(= \frac{e^x\cdot x^2 - e^x\cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x(x-2)}{x^3}\)
Tipp: Ist der Zähler konstant (\(\frac{c}{g}\)), schneller als \(c\cdot g^{-1}\) mit Kettenregel: \(\left(\frac{c}{g}\right)' = -\frac{c\,g'}{g^2}\).
Kettenregel SATZ ★
Einer der wichtigsten Sätze der gesamten Analysis!
\(h(x) = f(g(x))\)
\(\Rightarrow h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
Vorauss. \(g\) differenzierbar in \(x\)
Vorauss. \(f\) differenzierbar in \(g(x)\)
Beispiel \((\sin(x^2))' = \cos(x^2)\cdot 2x\)
Beispiel \((\ln(1+x^2))' = \frac{2x}{1+x^2}\)
Ableitung der Umkehrfunktion SATZ
\((f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\)
mit \(y_0 = f(x_0)\)
Vorauss. \(f\) streng monoton, stetig, diff'bar (Umkehrfkt. existiert) · \(f'(x_0) \neq 0\)
Beispiel \(f=e^x, f^{-1}=\ln: (\ln x)' = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}\)
Implizites Differenzieren
Wurde bereits in Prüfungen verlangt! Kurve \(F(x,y)=0\) nach x ableiten.
Beispiel Kreis:
\(x^2 + y^2 = 1\)
\(2x + 2yy' = 0\)
\(\Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\)
Höhere Ableitungen & Anwendungen
Höhere Ableitungen & Leibniz-Regel SATZ
Notation \(f'' = (f')'\) , allgemein \(f^{(n)}\)
Beispiel \(x^4: 4x^3 \to 12x^2 \to 24x \to 24\)
Leibniz-Regel:
\((fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}\)
n=1: Produktregel
\(n=2: (fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''\)
Tangente & Normale
Tangente in x0:
\(y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)\)
Bsp: \(f=x^2, x_0=1: y = 1+2(x-1) = 2x-1\)
Normale (senkrecht):
\(m_N = -\frac{1}{f'(x_0)}\) \((f'(x_0) \neq 0)\)
Kriterien für Differenzierbarkeit
\(|x|\) links: −1, rechts: +1 ⇒ nicht diff'bar in 0
\(\sqrt{x}\) nur für x > 0 differenzierbar
stückweise prüfen: Existenz · Stetigkeit · Links- = Rechtsableitung
Taylor-Formel & Mittelwertsatz
Mittelwertsatz + Voraussetzungen wurden bereits direkt in Prüfungen abgefragt!
Die Mittelwertsätze
Satz von Rolle SATZ
\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) mit
• f stetig auf [a,b]
• f diff'bar auf (a,b)
• \(f(a) = f(b)\)
\(\Rightarrow \exists c \in (a,b): f'(c) = 0\)
geometrisch mind. ein Punkt mit horizontaler Tangente
Vorauss.! Stetigkeit auf [a,b] , Diff'barkeit auf (a,b) , gleiche Randwerte — unbedingt angeben!
Mittelwertsatz (Lagrange) SATZ ★
\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\)
• stetig auf [a,b]
• diff'bar auf (a,b)
\(\Rightarrow \exists c \in (a,b):\)
\(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
geometrisch Tangente hat irgendwo dieselbe Steigung wie die Sekante
Vorauss.! immer vollständig nennen: stetig auf [a,b] + diff'bar auf (a,b)
Verallg. Mittelwertsatz (Cauchy) SATZ
\(f, g: [a,b] \to \mathbb{R}\)
• stetig auf [a,b]
• diff'bar auf (a,b)
• \(g'(x) \neq 0\) auf (a,b)
\(\Rightarrow \exists c \in (a,b):\)
\(\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)
Spezialfall \(g(x)=x\) ⇒ gewöhnlicher Mittelwertsatz
Monotonie & Extrema
Monotoniekriterium SATZ
Vorauss.: f differenzierbar auf I.
\(f' \ge 0\) monoton wachsend
\(f' > 0\) streng monoton wachsend
\(f' \le 0\) monoton fallend
\(f' < 0\) streng monoton fallend
Lokale Extrema: notwendige Bedingung SATZ
Satz lokales Extremum in \(x_0\) + f dort diff'bar ⇒ \(f'(x_0) = 0\)
Begriff solche Punkte = kritische Stellen
Achtung: \(f'(x_0)=0\) bedeutet nicht automatisch Extremum! Bsp: \(f(x)=x^3\) , \(f'(0)=0\), aber kein Extremum.
Erstes Ableitungs-Kriterium
Maximum f' wechselt + → −
Minimum f' wechselt − → +
kein Extremum kein Vorzeichenwechsel
Zweites Ableitungs-Kriterium SATZ
Vorauss.: \(f'(x_0) = 0\) .
\(f''(x_0) < 0\) lokales Maximum
\(f''(x_0) > 0\) lokales Minimum
\(f''(x_0) = 0\) keine Aussage → weitere Abl. / Vorzeichenwechsel
Krümmung & Wendepunkte
\(f'' > 0\) konvex (linksgekrümmt)
\(f'' < 0\) konkav (rechtsgekrümmt)
Wendepunkt notw. \(f''(x_0) = 0\)
hinreichend f'' wechselt Vorzeichen; oder \(f'''(x_0) \neq 0\)
Taylor
Taylorpolynom DEF
\(T_n(x) = f(x_0)\)
\(+ f'(x_0)(x-x_0)\)
\(+ \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\)
+ ...
\(+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)
Vorauss. f besitzt n Ableitungen in Umgebung von \(x_0\)
Taylor-Formel mit Lagrange-Restglied SATZ
\(f(x) = T_n(x) + R_n(x)\)
\(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)
\(\xi\) zwischen \(x_0\) und \(x\)
Vorauss. \(f \in C^{(n+1)}\) (n+1 stetige Ableitungen)
Maclaurin-Reihen \((x_0 = 0)\) ★
Weitgehend auswendig beherrschen!
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
\(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\)
\(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\)
\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots\)
\((|x| < 1)\)
\(\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\)
\((|x| < 1)\)
\(\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots\)
\((|x| \le 1)\)
Regel von de l'Hospital SATZ ★
\(\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\)
Vorauss. \(\frac{0}{0}\) -Form oder \(\frac{\infty}{\infty}\) -Form
Vorauss. f, g diff'bar in Umgebung von \(x_0\)
Vorauss. \(g'(x) \neq 0\)
Vorauss. \(\lim f'/g'\) existiert
Bsp \(\frac{\sin(x)}{x} \to \frac{\cos(x)}{1} \to 1\) \((x\to 0)\)
Bsp \(\frac{\ln(x)}{x} \to \frac{1/x}{1} \to 0\) \((x\to \infty)\)
Bsp \(\frac{e^x-1}{x} \to e^x \to 1\) \((x\to 0)\)
Standard-Taylorentwicklungen \((x \to 0)\)
sin, tan \(\sim x\)
arcsin, arctan \(\sim x\)
ln(1+x) \(\sim x\)
\(e^x-1\) \(\sim x\)
\(1-\cos(x)\) \(\sim \frac{x^2}{2}\)
\(\sqrt{1+x}\) \(= 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \cdots\)
\((1+x)^\alpha\) \(= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)x^2}{2} + \cdots\)
Schema: Kurvendiskussion
» Definitionsbereich
» Symmetrien
» Nullstellen
» Grenzwerte & Asymptoten
» f': kritische Punkte, Monotonie, Extrema
» f'': Krümmung, Wendepunkte
» Skizze
Das unbestimmte Integral
Stammfunktion
Definition: Stammfunktion SATZ
F heißt Stammfunktion von f auf Intervall I, wenn \(F'(x) = f(x)\) \(\forall x \in I\).
Notation \(\int f(x) \, dx = F(x)+C\) , \(C \in \mathbb{R}\)
Satz ★ Alle Stammfunktionen haben die Form \(F(x)+C\) — unterscheiden sich nur um eine Konstante (wurde explizit abgefragt!)
Vorauss. F Stammfunktion von f auf einem Intervall I
Linearität SATZ
\(\int (\alpha f + \beta g) \, dx = \alpha \int f \, dx + \beta \int g \, dx\)
Vorauss. f, g besitzen Stammfunktionen
Grundintegrale
\(x^n\) \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) \((n \neq -1)\)
\(\frac{1}{x}\) \(\ln|x|+C\)
\(e^x\) \(e^x+C\)
\(a^x\) \(\frac{a^x}{\ln(a)}+C\) \((a>0, a \neq 1)\)
\(\ln(x)\) \(x\ln(x)-x+C\) (part. Int.)
\(\sin(x)\) \(-\cos(x)+C\)
\(\cos(x)\) \(\sin(x)+C\)
\(\tan(x)\) \(-\ln|\cos(x)|+C\)
\(\frac{1}{\cos^2(x)}\) \(\tan(x)+C\)
\(\frac{1}{\sin^2(x)}\) \(-\cot(x)+C\)
\(\frac{1}{1+x^2}\) \(\arctan(x)+C\)
\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\arcsin(x)+C\)
\(\sinh(x)\) \(\cosh(x)+C\)
\(\cosh(x)\) \(\sinh(x)+C\)
Integrationstechniken
Substitutionsregel SATZ
\(\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du\)
mit \(u = g(x)\)
Vorauss. g diff'bar · f besitzt Stammfunktion
Vorgehen:
• \(u = g(x)\) festlegen
• \(du = g'(x)\,dx\)
• Integral in \(u\) umschreiben
• Integrieren
• Rücksubstitution
Bsp \(\int 2xe^{x^2} \, dx = e^{x^2}+C\) \((u=x^2)\)
Bsp \(\int \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3}\sin(3x)+C\) \((u=3x)\)
Partielle Integration SATZ
\(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
Vorauss. \(u\), \(v\) differenzierbar
LIATE-Regel (\(u\)-Wahl, oben zuerst):
L ogarithmus
I nverse Funktionen
A lgebraisch
T rigonometrisch
E xponentiell
Bsp \(\int xe^x \, dx = (x-1)e^x+C\)
Bsp \(\int \ln(x) \, dx = x\ln(x)-x+C\)
Bsp \(\int x\sin(x) \, dx = -x\cos(x)+\sin(x)+C\)
Rationale Funktionen
Typ \(\int \frac{P'(x)}{P(x)} \, dx = \ln|P(x)|+C\)
Beispiel \(\int \frac{2x}{x^2+1} \, dx = \ln(x^2+1)+C\)
Typ Partialbruchzerlegung
Bsp: \(\int \frac{1}{x^2-1} \, dx\)
\(x^2-1 = (x-1)(x+1)\)
\(\frac{1}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}\)
→ Brüche einzeln integrieren
Trigonometrische Integrale
\(\sin \cdot \cos\) nutze \(\sin(2x)=2\sin x \cos x\)
Quadrate \(\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}\) , \(\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}\)
Bsp: \(\int \sin^2(x) \, dx\)
\(= \frac{1}{2}\int (1-\cos 2x) \, dx\)
\(= \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C\)
Wurzel-Integrale (trig. Substitution)
\(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\) Subst. \(x=\sin(t)\) \(\Rightarrow\) \(\arcsin(x)+C\)
\(\int \frac{dx}{1+x^2}\) Subst. \(x=\tan(t)\) \(\Rightarrow\) \(\arctan(x)+C\)
Entscheidungsschema Integrale
\(f'(x)\) innerhalb einer Fkt.? → Substitution
Produkt zweier Fkt.-Typen? → part. Integration
Rationaler Bruch? → Partialbruchzerlegung
\(\sin^2\)/\(\cos^2\)? → Halbwinkelformeln
\(\sqrt{1-x^2}\) oder \(1+x^2\)? → trig. Substitution
Das bestimmte Integral
Der Hauptsatz gehört zu den wichtigsten Sätzen der gesamten Analysis!
Riemann-Integral
Zerlegung & Ober-/Untersummen
Zerlegung: \(a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b\)
Feinheit: \(|Z| = \max(x_i-x_{i-1}) \to 0\)
\(M_i = \sup f,\ m_i = \inf f\) (je Teilintervall)
Obersumme: \(O(f,Z) = \sum M_i(x_i-x_{i-1})\)
Untersumme: \(U(f,Z) = \sum m_i(x_i-x_{i-1})\)
stets: \(U(f,Z) \le O(f,Z)\)
Riemann-Summe DEF
Zwischenstellen \(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\) je Teilintervall beliebig wählen.
Riemann-Summe:
\(S(f,Z,\xi) = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,(x_i - x_{i-1})\)
— Näherung der Fläche durch Rechtecke
Integral = Grenzwert der Riemann-Summen:
\(\int_a^b f\,dx = \lim_{|Z|\to0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,\Delta x_i\)
(existiert & unabhängig von der Wahl der \(\xi_i\))
äquidistant \(\Delta x = \frac{b-a}{n},\ \int_a^b f = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\frac{b-a}{n}\)
Einordnung \(U(f,Z) \le S(f,Z,\xi) \le O(f,Z)\)
Riemann-Integrierbarkeit DEF
\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) beschränkt heißt Riemann-integrierbar, wenn:
\(\sup U(f,Z) = \inf O(f,Z)\)
\(=: \int_a^b f(x)\,dx\)
Stetig ⇒ integrierbar SATZ
Satz Jede stetige Funktion auf \([a,b]\) ist Riemann-integrierbar
Vorauss. \(f\) stetig · \([a,b]\) abgeschlossen & beschränkt
Eigenschaften des Integrals SATZ
Linearität \(\int(\alpha f+\beta g) = \alpha\int f + \beta\int g\)
Additivität \(\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b\) \((a<c<b)\)
Grenzen tauschen \(\int_a^b f = -\int_b^a f\)
Nullintervall \(\int_a^a f = 0\)
Monotonie \(f \le g \Rightarrow \int f \le \int g\)
Abschätzung \(m \le f \le M \Rightarrow m(b-a) \le \int f \le M(b-a)\)
Betrag \(|\int f| \le \int |f|\)
Hauptsatz ★
Stammfunktion aus best. Integral SATZ
Hauptsatz der Diff.- & Integralrechnung (1. Teil) — verbindet Ableiten und Integrieren.
\(f\) stetig auf \([a,b]\)
\(F(x) := \int_a^x f(t)\,dt\)
\(\Rightarrow F'(x) = f(x)\)
Vorauss. \(f\) stetig · \(x \in [a,b]\)
Best. Integral via Stammfunktion SATZ
Hauptsatz der Diff.- & Integralrechnung (2. Teil) — in praktisch jeder Rechenaufgabe verwendet.
\(F\) Stammfunktion von \(f\)
\(\Rightarrow \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Vorauss. \(F'(x) = f(x)\)
Beispiel \(\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right] = \frac{1}{3}\)
Mittelwertsatz der Integralrechnung SATZ
\(f\) stetig auf \([a,b]\)
\(\Rightarrow \exists c \in [a,b]:\)
\(\int_a^b f(x)\,dx = f(c)(b-a)\)
Vorauss. \(f\) stetig · \([a,b]\) abgeschlossen
Interpretation \(f(c) =\) Durchschnittswert der Funktion
Mittelwert \(\frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f(x)\,dx\)
Anwendungen
Flächenberechnung
\(f \ge 0\) \(A = \int_a^b f(x)\,dx\)
allgemein \(A = \int_a^b |f(x)|\,dx\)
zwischen f, g \(A = \int_a^b(f-g)\,dx\) \((f \ge g)\)
Beispiel \(f=x, g=x^2\) auf \([0,1]\): \(\int(x-x^2) = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)
Symmetrie ★
Spart in Prüfungen oft viel Rechenarbeit!
gerade \(f(-x)=f(x)\) \(\int_{-a}^a f = 2\int_0^a f\)
ungerade \(f(-x)=-f(x)\) \(\int_{-a}^a f = 0\)
Integralkriterium für Reihen SATZ
\(\sum a_n\) konvergiert \(\Leftrightarrow\) \(\int_1^\infty f(x)\,dx\) konvergiert
Vorauss. \(f\) stetig · \(f \ge 0\) · \(f\) mon. fallend · \(a_n = f(n)\)
Beispiel \(\frac{1}{x^p}\) : konv. \(\Leftrightarrow p>1\) \(\Rightarrow\) \(\sum \frac{1}{n^p}\) konv. \(\Leftrightarrow p>1\)
Uneigentliche Integrale
Vollständig Prüfungsstoff — insbesondere das Integralkriterium für Reihen.
Definitionen
Unendliche Grenze DEF
\(\int_a^{\infty} f(x)\,dx := \lim_{R\to\infty} \int_a^R f(x)\,dx\)
\(\int_{-\infty}^b f(x)\,dx := \lim_{R\to-\infty} \int_R^b f(x)\,dx\)
konvergent Grenzwert existiert und ist endlich
beidseitig ∞ \(\int_{-\infty}^{\infty} = \int_{-\infty}^c + \int_c^{\infty}\) — beide Teilintegrale müssen konvergieren!
Polstellen DEF
Pol links: \(\int_a^b f = \lim_{x\to a^+} \int_x^b f(t)\,dt\)
Pol rechts: \(\int_a^b f = \lim_{x\to b^-} \int_a^x f(t)\,dt\)
Pol innen (c): \(\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b\)
→ beide getrennt konvergent!
p-Integrale ★
p-Integrale SATZ
Unbedingt auswendig — extrem wichtige Tabelle!
\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx\) konvergiert \(\Leftrightarrow\) \(p > 1\)
\(\int_0^1 \frac{1}{x^p} \, dx\) konvergiert \(\Leftrightarrow\) \(p < 1\)
Beweisidee \(\int x^{-p} = \frac{x^{1-p}}{1-p}\) ; \(x^{1-p} \to 0 \Leftrightarrow p>1\)
Standardbeispiele
\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\) \(= 1\) → konvergent (Stammfkt. \(-\frac{1}{x}\))
\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x}\) \(\ln(R) \to \infty\) → divergent
\(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\) \(= 2\) → konvergent (Stammfkt. \(2\sqrt{x}\))
\(\int_0^1 \frac{1}{x}\) \(\ln(x) \to -\infty\) → divergent
\(\int_0^{\infty} e^{-x}\) \(= 1\) → konvergent
\(\int_0^{\infty} e^{-ax}\) \(= \frac{1}{a}\) \((a > 0)\)
\(\int_0^{\infty} \sin(x)\) divergent (\(-\cos\) hat keinen Grenzwert)
Kriterien
Majorantenkriterium (Integrale) SATZ
\(0 \le f(x) \le g(x)\) \((x \ge a)\)
\(\int_a^{\infty} g\) konvergiert \(\Rightarrow\) \(\int_a^{\infty} f\) konvergiert
Vorauss. \(f,g \ge 0\) · \(f \le g\) · größeres Integral konv.
Beispiel \(\frac{1}{x^2+1} \le \frac{1}{x^2}\) \(\Rightarrow\) konvergent
Minorantenkriterium (Integrale) SATZ
\(0 \le g(x) \le f(x)\)
\(\int_a^{\infty} g\) divergiert \(\Rightarrow\) \(\int_a^{\infty} f\) divergiert
Beispiel \(\frac{1}{x+1} \ge \frac{1}{2x}\) , \(\int \frac{1}{x}\) div. \(\Rightarrow\) divergent
Grenzvergleichskriterium SATZ
\(f, g > 0\), \(\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = c\),
\(0 < c < \infty\)
\(\Rightarrow\) \(\int f\) und \(\int g\) haben dasselbe
Konvergenzverhalten
Vorauss. \(f,g\) positiv · Grenzwert existiert · \(c\) endlich & positiv
Beispiel \(\frac{x}{x^2+1} \sim \frac{1}{x}\) , \(\int \frac{1}{x}\) div. \(\Rightarrow\) divergent
Absolute Konvergenz SATZ
Def.: absolut konvergent, wenn \(\int |f(x)|\,dx\) konvergiert.
Satz Absolut konvergent \(\Rightarrow\) konvergent
Beispiel \(\int_1^{\infty} \frac{\sin(x)}{x^2} \, dx\) abs. konv., da \(\frac{|\sin x|}{x^2} \le \frac{1}{x^2}\)
Gegenbsp. \(\int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx\) konvergiert, aber nicht absolut
Integralkriterium für Reihen SATZ ★
Das wichtigste Resultat dieses Kapitels! Alle 4 Vorauss. angeben!
\(f: [1,\infty) \to \mathbb{R}\) mit
• \(f\) stetig
• \(f(x) \ge 0\)
• \(f\) monoton fallend
• \(a_n = f(n)\)
\(\Rightarrow\) \(\sum a_n\) konv. \(\Leftrightarrow\) \(\int_1^{\infty} f(x)\,dx\) konv.
p-Reihen \(f=\frac{1}{x^p}\) \(\Rightarrow\) \(\sum \frac{1}{n^p}\) konv. \(\Leftrightarrow\) \(p>1\)
harmonisch \(f=\frac{1}{x}\) : \(\int = \ln(x)\), \(1..\infty = \infty\) \(\Rightarrow\) \(\sum \frac{1}{n}\) divergent
Entscheidungsschema uneig. Integrale
» Unendliche Grenze / Polstelle finden
» Grenzwertdefinition ansetzen
» Direkt integrieren
» Sonst: Vergleich, Grenzvergleich,
p-Integrale, e-Funktionen
» Absolute Konvergenz prüfen
★ Übersichtstabelle
\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\) konv. \(\Leftrightarrow\) \(p > 1\)
\(\int_0^1 \frac{1}{x^p}\) konv. \(\Leftrightarrow\) \(p < 1\)
\(\int_0^{\infty} e^{-ax}\) konv. \(\Leftrightarrow\) \(a > 0\) (\(= \frac{1}{a}\))
\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x}\) divergent
\(\int_0^1 \frac{1}{x}\) divergent
\(\int_0^{\infty} \sin(x)\) divergent
Funktionen in mehreren Variablen
Bei den Extrema ist nur der lokale Fall prüfungsrelevant.
Grundbegriffe
Definition
Abbildung \(f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) , jedem Vektor \(x = (x_1,...,x_n)\) wird genau eine reelle Zahl zugeordnet.
Beispiele \(x^2+y^2\) , \(xyz\) , \(e^{x+y}\) , \(\ln(x^2+y^2)\) (D: \(x^2+y^2>0\))
Graph 2 Variablen: Fläche im \(\mathbb{R}^3\): \(z = f(x,y)\)
\(z=x^2+y^2\) Paraboloid
\(z=x^2-y^2\) Sattelfläche
Definitionsbereich bestimmen ★
Eine der häufigsten Prüfungsaufgaben!
\(\ln(g)\) Vorauss.: \(g > 0\) Bsp: \(\ln(x^2+y^2-1)\) : \(x^2+y^2>1\)
\(\sqrt{g}\) Vorauss.: \(g \ge 0\) Bsp: \(\sqrt{4-x^2-y^2}\) : \(x^2+y^2\le 4\)
\(1/g\) Vorauss.: \(g \ne 0\) Bsp: \(1/(x^2+y^2)\) : \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\)
Kombination alle Bedingungen gleichzeitig! Bsp: \(\ln(\sqrt{1-x^2-y^2})\) : \(x^2+y^2<1\)
Niveaumengen
\(N_c = \{(x,y) : f(x,y) = c\}\)
\(x^2+y^2\) Kreise mit Radius \(\sqrt{c}\)
\(x+y\) Geraden \(x+y = c\)
\(xy\) Hyperbeln \(xy = c\)
Grenzwert & Stetigkeit
Grenzwert (mehrdim.) ★
Def.: \(\lim_{x\to a} f(x) = L\) , falls für jede Folge \(x_n \to a\) auch \(f(x_n) \to L\) .
Kernidee Grenzwert muss wegunabhängig sein!
Prüfungsprinzip: verschiedene Wege!
Bsp: \(f(x,y) = xy/(x^2+y^2)\)
Weg y=0: \(f(x,0) = 0\)
Weg y=x: \(f(x,x) = x^2/(2x^2) = 1/2\)
verschieden ⇒ Grenzwert existiert NICHT
Diese Aufgabenart ist äußerst prüfungsrelevant!
Stetigkeit (mehrdim.) SATZ
Def.: f stetig in a ⇔ \(\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\) .
stetig sind Polynome, rationale Fkt. (Nenner \(\ne 0\)), exp, ln, trig. Fkt., Wurzeln (je auf Def.-Bereich)
Verkettung f, g stetig ⇒ \(f(g(x))\) stetig
Partielle Ableitungen
Definition: partielle Ableitung ★
\(\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\)
y wird konstant gehalten!
Notationen \(f_x\) , \(\frac{\partial f}{\partial x}\) , \(D_1f\)
Interpretation \(\partial/\partial x\): Bewegung parallel zur x-Achse (eine Variable verändern, Rest konstant)
Rechenregeln (wie 1D)
Linearität \((f+g)_x = f_x+g_x\)
Produkt \((fg)_x = f_xg + fg_x\)
Quotient \((f/g)_x = \frac{f_xg-fg_x}{g^2}\)
Kette \((f(g(x,y)))_x = f'(g)\cdot g_x\)
Beispiel \(\sin(x^2+y^2): f_x = \cos(x^2+y^2)\cdot 2x\)
Beispiele
\(x^2y+y^3\) \(f_x=2xy, f_y=x^2+3y^2\)
\(e^{xy}\) \(f_x=ye^{xy}, f_y=xe^{xy}\)
\(\ln(x^2+y^2)\) \(f_x=2x/(x^2+y^2), f_y=2y/(x^2+y^2)\)
\(x^y (x>0)\) \(= e^{y \ln x}: f_x=yx^{y-1}, f_y=x^y\ln(x)\)
Satz von Schwarz SATZ ★
Höhere Ableitungen: \(f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}, f_{yx}\) .
\(f \in C^2 \Rightarrow f_{xy} = f_{yx}\)
Vorauss.! stetige zweite partielle Ableitungen (\(f \in C^2\)) — immer nennen!
Beispiel \(x^2y^3: f_{xy} = f_{yx} = 6xy^2\) ✓
Differentialrechnung in mehreren Variablen
Gradient
Definition: Gradient ★
\(\nabla f(x) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_n})\)
Schreibweisen \(\nabla f\) , grad f , \((f_x, f_y)\)
Beispiel \(f=x^2+y^2: \nabla f = (2x, 2y)\)
geometrisch zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs , steht senkrecht auf Niveaulinien
Satz \(\nabla f \perp\) Niveaulinie \(f=c\) Vorauss.: \(\nabla f \ne 0\)
Richtungsableitung SATZ
Def.:
\(D_u f(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+hu) - f(a)}{h}\)
Vorauss.: \(|u| = 1\) (Einheitsvektor)
Wichtigste Formel (f diff'bar):
\(D_u f(a) = \nabla f(a) \cdot u\)
Beispiel \(f=x^2+y^2\) , Punkt (1,1): \(\nabla f=(2,2)\); \(u=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})\): \(D_u f = 4/\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)
Stärkster Anstieg SATZ
Satz größte Richtungsableitung in Richtung \(\nabla f\) ; Maximalwert = \(|\nabla f(a)|\)
Vorauss. f differenzierbar
Abnahme stärkste Abnahme in Richtung \(-\nabla f(a)\)
Differential & Tangentialebene
Totales Differential
\(df = f_x dx + f_y dy\)
allgemein: \(df = \sum \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i\)
Lineare Approximation:
\(\Delta f \approx df\)
\(f(x+\Delta x, y+\Delta y) \approx f(x,y) + f_x \Delta x + f_y \Delta y\)
Beispiel \(f=x^2+y^2: df = 2x\,dx+2y\,dy\) ; in (1,2): \(df = 2\,dx+4\,dy\)
Differenzierbarkeit SATZ
Def.: f diff'bar in a \(\Leftrightarrow\)
\(f(a+h) = f(a) + L(h) + o(|h|)\)
L linear; 2D: \(L(h,k) = f_x h + f_y k\)
Satz erste part. Ableitungen stetig in Umgebung \(\Rightarrow\) f differenzierbar
Vorauss. \(f \in C^1\) — hinreichend, nicht notwendig
Tangentialebene ★
\(z = f(x_0,y_0)\)
\(+ f_x(x_0,y_0)(x-x_0)\)
\(+ f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)
Vorauss. f differenzierbar
Beispiel \(f=x^2+y^2\) in (1,1): \(z = 2+2(x-1)+2(y-1) = 2x+2y-2\)
Normalenvektor
Fläche F(x,y,z)=c \(\nabla F\) ist Normalenvektor
Beispiel Kugel \(x^2+y^2+z^2=1\) : Normale \((2x,2y,2z)\)
Kettenregel & Matrizen
Kettenregel (mehrdim.) SATZ
\(z = f(x(t), y(t))\)
\(\Rightarrow \frac{dz}{dt} = f_x \cdot \frac{dx}{dt} + f_y \cdot \frac{dy}{dt}\)
Beispiel \(f=x^2+y^2, x=t, y=t^2: \frac{dz}{dt} = 2t+4t^3\)
Jacobi-Matrix
Für \(F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) :
\(J_F = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)\)
Bsp: F(x,y) = (x²+y, xy):
\(J = \begin{pmatrix} 2x & 1 \\ y & x \end{pmatrix}\)
m = 1 Jacobi-Matrix = Gradient
Hesse-Matrix ★
Alle zweiten partiellen Ableitungen — wichtig für die lokalen Extrema!
\(H_f = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}\)
Vorauss. \(f \in C^2\) \(\Rightarrow\) nach Schwarz symmetrisch
Beispiel \(f=x^2+xy+y^2: H = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)
Lineare Approximation / Fehler
\(\Delta f \approx f_x \Delta x + f_y \Delta y\)
Fehler: \(o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})\)
Bsp: f=√(x²+y²), Punkt (3,4):
\(\nabla f = (3/5, 4/5)\)
\(\Delta x=0.1, \Delta y=0.2\):
\(\Delta f \approx 0.06+0.16 = 0.22\)
★ Formelübersicht
Gradient \(\nabla f = (f_x, f_y)\)
Richtungsabl. \(D_u f = \nabla f \cdot u\)
max. Richt.-Abl. \(|\nabla f|\)
tot. Differential \(df = f_x dx + f_y dy\)
Tangentialebene \(z = f_0 + f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0)\)
Jacobi \(J = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)\)
Hesse \(H = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\right)\)
Kettenregel \(\frac{dz}{dt} = f_x \cdot x' + f_y \cdot y'\)
Lokale Extrema (mehrdim.)
Nur lokale Extrema prüfungsrelevant. Hesse-Matrix + Determinante = zentrale Rolle.
Definitionen
Lokales Max / Min
Maximum \(f(x,y) \le f(a,b)\) für alle Punkte mit \(||(x,y)-(a,b)|| < \epsilon\)
Minimum \(f(x,y) \ge f(a,b)\) in genügend kleiner Umgebung
Extremum = Maximum oder Minimum
Kritische Punkte & notwendige Bedingung SATZ
Def. kritischer Punkt:
\(f_x(a,b) = 0\) und \(f_y(a,b) = 0\)
\(\Leftrightarrow \nabla f(a,b) = 0\)
Satz (notwendig):
lok. Extremum + f diff'bar
\(\Rightarrow \nabla f(a,b) = 0\)
Vorauss. f differenzierbar · lokales Extremum existiert
Achtung: Umkehrung gilt nicht ! \(f=x^2-y^2\) : \(\nabla f(0,0)=(0,0)\), aber Sattelpunkt , kein Extremum.
Hesse-Kriterium ★
Determinantenkriterium SATZ ★
Das wichtigste Kriterium des Kapitels! Vorauss.: \(f \in C^2\), kritischer Punkt.
\(D = f_{xx}(a,b)\cdot f_{yy}(a,b) - (f_{xy}(a,b))^2\)
\(D > 0, f_{xx} > 0 \Rightarrow\) lok. MINIMUM
\(D > 0, f_{xx} < 0 \Rightarrow\) lok. MAXIMUM
\(D < 0 \Rightarrow\) SATTELPUNKT
\(D = 0 \Rightarrow\) keine Aussage!
Vorauss. \(f \in C^2\) · kritischer Punkt (\(f_x=f_y=0\) ) · jeweilige D-/f_xx-Bedingung
D = 0 andere Methoden verwenden (direkte Betrachtung)
Schema: lokale Extrema bestimmen
» Gradient: \(\nabla f = (f_x, f_y)\)
» Kritische Punkte: \(f_x=0, f_y=0\)
» Zweite Ableitungen: \(f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}\)
» \(D = f_{xx}\cdot f_{yy} - f_{xy}^2\)
» Hesse-Kriterium anwenden
Beispiele
Beispiel: Minimum
\(f = x^2+y^2\)
\(\nabla f = (2x,2y) \Rightarrow\) krit. Punkt \((0,0)\)
\(f_{xx}=2, f_{yy}=2, f_{xy}=0\)
\(D = 4 > 0, f_{xx} > 0\)
\(\Rightarrow\) lokales Minimum
Beispiel: Maximum
\(f = -x^2-y^2\)
\(\nabla f = (-2x,-2y) \Rightarrow (0,0)\)
\(H = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\)
\(D = 4 > 0, f_{xx} < 0\)
\(\Rightarrow\) lokales Maximum
Beispiel: Sattelpunkt
\(f = x^2-y^2\)
\(\nabla f = (2x,-2y) \Rightarrow (0,0)\)
\(H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\)
\(D = -4 < 0\)
\(\Rightarrow\) Sattelpunkt
Beispiel: degenerierter Fall (D=0)
\(f = x^4+y^4\)
\(\nabla f = (4x^3,4y^3) \Rightarrow (0,0)\)
\(f_{xx} = 12x^2, f_{yy} = 12y^2\)
im Ursprung: \(D = 0 \Rightarrow\) Kriterium versagt!
direkt: \(x^4+y^4 \ge 0\)
\(\Rightarrow\) trotzdem Minimum
Globale Extrema
Satz von Weierstraß (mehrdim.) SATZ
Def.: globales Max: \(f(a,b) \ge f(x,y)\) für alle Punkte im Def.-Bereich.
\(D \subset \mathbb{R}^n\) abgeschlossen & beschränkt
\(f: D \to \mathbb{R}\) stetig
\(\Rightarrow\) f besitzt globales Max UND Min
Vorauss. D kompakt · f stetig
Hinweis Nebenbedingungen \(g(x,y)=0\) \(\to\) Lagrange-Multiplikatoren (i.d.R. nicht mehr Analysis-1-Stoff)
Allgemeine Rechenregeln
Grundlagen-Werkzeugkasten — gilt für alle Kapitel.
Potenzen, Wurzeln & Logarithmen
Potenzgesetze
Für \(a,b>0\) und reelle Exponenten:
Produkt \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
Quotient \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
Potenz \((a^m)^n = a^{mn}\)
Produkt-Basis \((ab)^n = a^n b^n\)
Quot.-Basis \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\)
negativ \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
Null / Eins \(a^0 = 1,\ a^1 = a\)
Wurzel-Exp. \(a^{1/n} = \sqrt[n]{a},\ a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\)
Wurzelgesetze
Für \(a,b \ge 0\) (bzw. \(b>0\) bei Quotient):
Produkt \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}\)
Quotient \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
n-te Wurzel \(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\)
verschachtelt \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\)
Achtung: \(\sqrt{a^2} = |a|\) (nicht \(a\)!)
Logarithmengesetze
Für \(x,y>0\) , Basis \(a>0, a\neq 1\):
Produkt \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\)
Quotient \(\log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\)
Potenz \(\log_a(x^r) = r\log_a x\)
Basiswechsel \(\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\)
Umkehrung \(a^{\log_a x} = x,\ \log_a(a^x) = x\)
Werte \(\log_a 1 = 0,\ \log_a a = 1\)
Natürlicher Logarithmus \(\ln\)
\(\ln = \log_e\), Basis \(e\). Umkehrfunktion von \(e^x\) (\(x>0\)).
Werte \(\ln 1 = 0,\ \ln e = 1,\ \ln e^x = x\)
Umkehr \(e^{\ln x} = x\) (\(x>0\))
Produkt \(\ln(xy) = \ln x + \ln y\)
Quotient \(\ln\frac{x}{y} = \ln x - \ln y\)
Kehrwert \(\ln\frac{1}{x} = -\ln x\)
Potenz \(\ln(x^r) = r\ln x\)
Wurzel \(\ln\sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}\ln x\)
Basis wechs. \(a^x = e^{x\ln a}\)
Ableitung \((\ln x)' = \frac{1}{x}\) , \((\ln|x|)' = \frac{1}{x}\)
Integral \(\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C\)
Grenzwerte \(\frac{\ln(1+x)}{x} \to 1\) (\(x\to0\)); \(\frac{\ln x}{x} \to 0\) (\(x\to\infty\))
Formeln & Brüche
Binomische Formeln
1. \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
2. \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
3. \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
Kubik \((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
Faktor. \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
Lehrsatz \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\)
Bruchrechnen
Add./Sub. \(\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}\)
Produkt \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\)
Quotient \(\frac{a/b}{c/d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}\)
Kürzen \(\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}\) (\(c\neq 0\))
Betrag & Ungleichungen
Betrag
Def. \(|a| = a\) falls \(a\ge0\), sonst \(-a\)
Produkt \(|ab| = |a|\,|b|,\ \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}\)
Dreieck \(|a+b| \le |a| + |b|\)
umgekehrt \(\big||a|-|b|\big| \le |a-b|\)
Auflösen \(|a| \le c \Leftrightarrow -c \le a \le c\)
Ungleichungen
Addition \(a<b \Rightarrow a+c<b+c\)
\(\cdot\) positiv \(a<b,\ c>0 \Rightarrow ac<bc\)
\(\cdot\) negativ \(a<b,\ c<0 \Rightarrow ac>bc\) (dreht um!)
Kehrwert \(0<a<b \Rightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{b}\)
AM–GM \(\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}\) (\(a,b\ge0\))
Bernoulli \((1+x)^n \ge 1+nx\) (\(x\ge-1\))
Summen & Fakultät
Wichtige Summen
Gauß \(\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\)
Quadrate \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Kuben \(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)
geometr. \(\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) (\(q\neq1\))
Fakultät & Binomialkoeffizient
Fakultät \(n! = 1\cdot2\cdots n,\ 0! = 1\)
Binom.-Koeff. \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Symmetrie \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)
Pascal \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)
Ränder \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\)
— ENDE · VIEL ERFOLG —