ANALYSIS 1 — PRÜFUNGS-CHEATSHEET

\((a_n)\) konvergiert gegen \(a \in \mathbb{R}\), wenn: \(\forall \varepsilon>0\ \exists N \in \mathbb{N}\), sodass \(\forall n \ge N\): \(|a_n - a| < \varepsilon\)

\(a_n \le b_n \le c_n\) (\(\forall n \ge N\)) \(\lim a_n = L\) und \(\lim c_n = L\) \(\Rightarrow \lim b_n = L\)

\(\ln(n) \ll n^\alpha \ll a^n \ll n! \ll n^n\) (\(\alpha > 0,\ a > 1\))

» Wohldefiniertheit zeigen » Monotonie (Induktion) » Beschränktheit (Induktion) » Monotoniekriterium anwenden » Grenzwert: \(L = f(L)\) lösen

Auswendig: • ε-N-Definition der Konvergenz • Definition Nullfolge • Rechenregeln für Grenzwerte • Konvergent ⇒ beschränkt • Monotoniekriterium • Sandwich-Theorem • Satz von Bolzano-Weierstraß • Definition Häufungspunkt • Standardgrenzwerte • Wachstumshierarchie

Σ(k=1..n) k = 1+2+...+n = n(n+1)/2

Σ(n=0..∞) q^n = 1/(1−q) (|q| < 1)

0 ≤ a_n ≤ b_n (n groß) Σ b_n konvergiert ⇒ Σ a_n konvergiert

0 ≤ b_n ≤ a_n (n groß) Σ b_n divergiert ⇒ Σ a_n divergiert

L = lim (a_(n+1)/a_n) (a_n > 0) L < 1 ⇒ konvergent L > 1 ⇒ divergent L = 1 ⇒ keine Aussage

L = lim sup |a_n|^(1/n) L < 1 ⇒ konvergent L > 1 ⇒ divergent L = 1 ⇒ keine Aussage

Σ a_n konvergiert ⇔ ∫_1^∞ f(x)dx konvergiert

c_n = a0b_n + a1b_(n-1) + ... + a_nb0 Σ c_n = (Σ a_n)(Σ b_n)

» a_n → 0? Nein ⇒ divergent, fertig » Vergleich: 1/n^p, q^n, n!/a^n » Majoranten-/Minorantenkriterium » Quotientenkriterium » Wurzelkriterium » Integralkriterium » Randfälle separat

Auswendig: • Definition Reihe & Partialsummen • Notwendige Bedingung: a_n → 0 • Geometrische Reihe • Harmonische Reihe • p-Reihen • Majorantenkriterium • Minorantenkriterium • Quotientenkriterium • Wurzelkriterium • Integralkriterium • Absolute Konvergenz • Leibniz-Kriterium • Cauchy-Produkt • Konvergenzradius Potenzreihen

a_n ~ b_n ⇔ lim (a_n/b_n) = 1

a_n = O(b_n) ⇔ ∃C>0, N: |a_n| ≤ C|b_n| ∀n ≥ N

a_n = o(b_n) ⇔ lim (a_n/b_n) = 0

a_n = Θ(b_n) ⇔ ∃c1,c2>0: c1|b_n| ≤ |a_n| ≤ c2|b_n| (n groß)

1 « ln(n) « n^α « a^n « n! « n^n (α > 0, a > 1) ln(n) = o(n^α) n^α = o(a^n) a^n = o(n!) n! = o(n^n)

n! ~ (n/e)^n √(2πn) n! = (n/e)^n √(2πn)(1+o(1))

(2n über n) = (2n)!/(n!)² Stirling einsetzen: (2n)! ~ (2n/e)²^n √(4πn) n! ~ (n/e)^n √(2πn) ⇒ (2n über n) ~ 4^n/√(πn) ⇒ (2n über n)·4^(-n) ~ 1/√(πn) also c = 1/√π, α = −1/2

Polynome: höchste Potenz 3n^4+7n²−5 ~ 3n^4 Rationale Fkt.: höchste Potenzen kürzen (n²+1)/(3n²−5) → 1/3 Fakultäten: Stirling Exponentiell: Wachstumshierarchie Kleine Argumente: sin(x)~x, ln(1+x)~x, e^x−1~x

Auswendig: • Definition a_n ~ b_n • Rechenregeln für ~ • Definition O • Definition o • Definition Θ • Wachstumshierarchie • Stirling-Formel • Standardentwicklungen (x→0) • Stirling auf Binomialkoeff. • Asympt. Vergleich mit p-Reihen für Reihenkonvergenz

Pythagoras: sin²x + cos²x = 1 1 + tan²x = 1/cos²x Addition: sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x+y) = cos x cos y − sin x sin y tan(x+y) = (tan x + tan y)/(1 − tan x tan y) Doppelwinkel: sin(2x) = 2 sin x cos x cos(2x) = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x Halbwinkel (für Integrale!): sin²x = (1 − cos 2x)/2 cos²x = (1 + cos 2x)/2

Auswendig: • Definitionsbereiche aller elem. Fkt. • Logarithmus-Rechenregeln • Additionstheoreme sin/cos • Doppel- & Halbwinkelformeln • Alle elementaren Ableitungen • Alle elementaren Stammfunktionen • Standardgrenzwerte • Eigenschaften exp & ln • Arkusfunktionen • Vorauss. Potenzregel (allg. α)

\(\lim_{x\to x_0} f(x) = L \Leftrightarrow\) \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\): \(0 < |x-x_0| < \delta\) \(\Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon\)

\(f\) stetig in \(x_0 \in D \Leftrightarrow\) \(\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\) äquivalent (ε-δ): \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\): \(|x-x_0| < \delta\) \(\Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon\)

\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig \(\forall y\) zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) \(\exists c \in [a,b]: f(c) = y\)

\(f(a)\cdot f(b) < 0\) \(\Rightarrow \exists c \in (a,b): f(c) = 0\)

Def. glm. stetig auf D: \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\) (für ALLE \(x,y \in D\)): \(|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon\)

\(\lim f(x) = \infty\ (x\to x_0)\): \(\forall M>0\ \exists \delta>0\): \(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x) > M\) Bsp: \(1/x^2 \to \infty\) für \(x\to 0\) \(\lim f(x) = L\ (x\to \infty)\): \(\forall \varepsilon>0\ \exists N>0\): \(x>N \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon\)

Auswendig: • ε-δ-Definition Funktionsgrenzwert • Exakte Definition Stetigkeit • Links-/rechtsseitiger Grenzwert • Rechenregeln für Grenzwerte • Algebra stetiger Funktionen • Verkettungssatz • Zwischenwertsatz • Nullstellensatz von Bolzano • Satz von Weierstraß • Heine-Cantor • Def. gleichmäßige Stetigkeit • Standardgrenzwerte • Def. unendliche Grenzwerte • Def. Grenzwerte im Unendlichen

\(f\) differenzierbar in \(x_0\) \(\Leftrightarrow\) \(f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) existiert

\((\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'\)

\((fg)' = f'g + fg'\)

\(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}\)

\(h(x) = f(g(x))\) \(\Rightarrow h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)

\((f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\) mit \(y_0 = f(x_0)\)

Beispiel Kreis: \(x^2 + y^2 = 1\) \(2x + 2yy' = 0\) \(\Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\)

Leibniz-Regel: \((fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}\) n=1: Produktregel \(n=2: (fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''\)

Tangente in x0: \(y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)\) Bsp: \(f=x^2, x_0=1: y = 1+2(x-1) = 2x-1\) Normale (senkrecht): \(m_N = -\frac{1}{f'(x_0)}\) \((f'(x_0) \neq 0)\)

Auswendig: • Definition der Ableitung • Geometrische Interpretation • Differenzierbar ⇒ stetig • Linearität • Produktregel • Quotientenregel • Kettenregel • Ableitung der Umkehrfunktion • Implizites Differenzieren • Tangentengleichung • Tabelle elem. Ableitungen (→ Elementare Funktionen) • Voraussetzungen aller Regeln!

\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) mit • f stetig auf [a,b] • f diff'bar auf (a,b) • \(f(a) = f(b)\) \(\Rightarrow \exists c \in (a,b): f'(c) = 0\)

\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) • stetig auf [a,b] • diff'bar auf (a,b) \(\Rightarrow \exists c \in (a,b):\) \(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

\(f, g: [a,b] \to \mathbb{R}\) • stetig auf [a,b] • diff'bar auf (a,b) • \(g'(x) \neq 0\) auf (a,b) \(\Rightarrow \exists c \in (a,b):\) \(\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)

\(T_n(x) = f(x_0)\) \(+ f'(x_0)(x-x_0)\) \(+ \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\) + ... \(+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)

\(f(x) = T_n(x) + R_n(x)\) \(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\) \(\xi\) zwischen \(x_0\) und \(x\)

\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\) \(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\) \(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\) \(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots\) \((|x| < 1)\) \(\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\) \((|x| < 1)\) \(\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots\) \((|x| \le 1)\)

\(\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\)

» Definitionsbereich » Symmetrien » Nullstellen » Grenzwerte & Asymptoten » f': kritische Punkte, Monotonie, Extrema » f'': Krümmung, Wendepunkte » Skizze

Auswendig: • Satz von Rolle • Mittelwertsatz (Lagrange) • Verallg. MWS (Cauchy) • Monotoniekriterium • Erstes Ableitungs-Kriterium • Zweites Ableitungs-Kriterium • Wendepunktkriterium • Taylorpolynom • Taylor-Formel mit Restglied • Maclaurin-Reihen • de l'Hospital + Voraussetzungen! • Standard-Taylorentwicklungen

∫(αf + βg)dx = α∫f dx + β∫g dx

∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du mit u = g(x)

Vorgehen: • u = g(x) festlegen • du = g'(x)dx • Integral in u umschreiben • Integrieren • Rücksubstitution

∫u dv = uv − ∫v du

LIATE-Regel (u-Wahl, oben zuerst): Logarithmus Inverse Funktionen Algebraisch Trigonometrisch Exponentiell

Bsp: ∫1/(x²−1)dx x²−1 = (x−1)(x+1) 1/(x²−1) = A/(x−1) + B/(x+1) → Brüche einzeln integrieren

Bsp: ∫sin²(x)dx = ½∫(1−cos 2x)dx = x/2 − sin(2x)/4 + C

f'(x) innerhalb einer Fkt.? → Substitution Produkt zweier Fkt.-Typen? → part. Integration Rationaler Bruch? → Partialbruchzerlegung sin²/cos²? → Halbwinkelformeln √(1−x²) oder 1+x²? → trig. Substitution

Auswendig: • Definition Stammfunktion • Satz: alle Stammfkt. = F+C • Linearität • Potenzregel • ∫1/x dx = ln|x|+C • Substitutionsregel + Vorauss. • Partielle Integration + Vorauss. • Rationale Funktionen • Halb-/Doppelwinkelformeln • Tabelle Stammfunktionen

Zerlegung: a = x0 < x1 < ... < x_n = b Feinheit: |Z| = max(x_i−x_(i-1)) → 0 M_i = sup f, m_i = inf f (je Teilintervall) Obersumme: O(f,Z) = Σ M_i(x_i−x_(i-1)) Untersumme: U(f,Z) = Σ m_i(x_i−x_(i-1)) stets: U(f,Z) ≤ O(f,Z)

sup U(f,Z) = inf O(f,Z) =: ∫_a^b f(x)dx

f stetig auf [a,b] F(x) := ∫_a^x f(t)dt ⇒ F'(x) = f(x)

F Stammfunktion von f ⇒ ∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a)

f stetig auf [a,b] ⇒ ∃c ∈ [a,b]: ∫_a^b f(x)dx = f(c)(b−a)

Rotation um x-Achse: V = π ∫_a^b f(x)² dx (f ≥ 0) Bsp: f=x auf [0,1]: V = π/3 Bogenlänge (f ∈ C¹): L = ∫_a^b √(1+(f'(x))²) dx Bsp: f=x auf [0,1]: L = √2

Σ a_n konvergiert ⇔ ∫_1^∞ f(x)dx konvergiert

Auswendig: • Def. Riemann-Integrierbarkeit • Stetig auf [a,b] ⇒ integrierbar • Linearität • Additivität • Monotonie des Integrals • Erster Hauptsatz • Zweiter Hauptsatz • MWS der Integralrechnung • Integralkriterium + Vorauss. • Fläche, Volumen, Bogenlänge • Symmetrie gerade/ungerade

∫_a^∞ f(x)dx := lim(R→∞) ∫_a^R f(x)dx ∫_-∞^b f(x)dx := lim(R→-∞) ∫_R^b f(x)dx

Pol links: ∫_a^b f = lim(x→a+) ∫_x^b f(t)dt Pol rechts: ∫_a^b f = lim(x→b-) ∫_a^x f(t)dt Pol innen (c): ∫_a^b = ∫_a^c + ∫_c^b → beide getrennt konvergent!

∫_1^∞ 1/x^p dx konvergiert ⇔ p > 1 ∫_0^1 1/x^p dx konvergiert ⇔ p < 1

0 ≤ f(x) ≤ g(x) (x ≥ a) ∫_a^∞ g konvergiert ⇒ ∫_a^∞ f konvergiert

0 ≤ g(x) ≤ f(x) ∫_a^∞ g divergiert ⇒ ∫_a^∞ f divergiert

f, g > 0, lim(x→∞) f(x)/g(x) = c, 0 < c < ∞ ⇒ ∫f und ∫g haben dasselbe Konvergenzverhalten

f: [1,∞) → R mit • f stetig • f(x) ≥ 0 • f monoton fallend • a_n = f(n) ⇒ Σ a_n konv. ⇔ ∫_1^∞ f(x)dx konv.

» Unendliche Grenze / Polstelle finden » Grenzwertdefinition ansetzen » Direkt integrieren » Sonst: Vergleich, Grenzvergleich, p-Integrale, e-Funktionen » Absolute Konvergenz prüfen

Auswendig: • Definition uneig. Integrale • Behandlung von Polstellen • p-Integrale + Konvergenz • Majorantenkriterium • Minorantenkriterium • Grenzvergleichskriterium • Absolute Konvergenz • Integralkriterium + ALLE Vorauss. • Exponentialintegrale • gewöhnliche vs. absolute Konv.

N_c = {(x,y) : f(x,y) = c}

Prüfungsprinzip: verschiedene Wege! Bsp: f(x,y) = xy/(x²+y²) Weg y=0: f(x,0) = 0 Weg y=x: f(x,x) = x²/(2x²) = 1/2 verschieden ⇒ Grenzwert existiert NICHT

∂f/∂x = lim(h→0) (f(x+h,y)−f(x,y))/h y wird konstant gehalten!

f ∈ C² ⇒ f_xy = f_yx

Auswendig: • Definition Funktion mehrerer Var. • Definitionsbereiche bestimmen • Definition Niveaumengen • Definition Grenzwert • Wegunabhängigkeit! • Definition Stetigkeit • Definition partielle Ableitungen • Rechenregeln • Höhere partielle Ableitungen • Satz von Schwarz (f ∈ C²!)

∇f(x) = (∂f/∂x1, ..., ∂f/∂x_n)

Def.: D_uf(a) = lim(h→0) (f(a+hu)−f(a))/h Vorauss.: |u| = 1 (Einheitsvektor) Wichtigste Formel (f diff'bar): D_uf(a) = ∇f(a) · u

df = f_xdx + f_ydy allgemein: df = Σ (∂f/∂x_i)dx_i Lineare Approximation: Δf ≈ df f(x+Δx, y+Δy) ≈ f(x,y) + f_xΔx + f_yΔy

Def.: f diff'bar in a ⇔ f(a+h) = f(a) + L(h) + o(|h|) L linear; 2D: L(h,k) = f_xh + f_yk

z = f(x0,y0) + f_x(x0,y0)(x−x0) + f_y(x0,y0)(y−y0)

z = f(x(t), y(t)) ⇒ dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt

J_F = (∂f_i/∂x_j) Bsp: F(x,y) = (x²+y, xy): J = [2x 1] [ y x]

H_f = [f_xx f_xy] [f_yx f_yy]

Δf ≈ f_xΔx + f_yΔy Fehler: o(√(Δx²+Δy²)) Bsp: f=√(x²+y²), Punkt (3,4): ∇f = (3/5, 4/5) Δx=0.1, Δy=0.2: Δf ≈ 0.06+0.16 = 0.22

Auswendig: • Definition Gradient • Geometrische Bedeutung ∇f • Definition Richtungsableitung • D_uf = ∇f · u • Richtung stärkster Anstieg • Totales Differential • f ∈ C¹ ⇒ differenzierbar • Tangentialebene • Kettenregel mehrdim. • Jacobi-Matrix • Hesse-Matrix • Schwarz: f_xy = f_yx (f ∈ C²)

Def. kritischer Punkt: f_x(a,b) = 0 und f_y(a,b) = 0 ⇔ ∇f(a,b) = 0 Satz (notwendig): lok. Extremum + f diff'bar ⇒ ∇f(a,b) = 0

D = f_xx(a,b)·f_yy(a,b) − (f_xy(a,b))² D > 0, f_xx > 0 ⇒ lok. MINIMUM D > 0, f_xx < 0 ⇒ lok. MAXIMUM D < 0 ⇒ SATTELPUNKT D = 0 ⇒ keine Aussage!

» Gradient: ∇f = (f_x, f_y) » Kritische Punkte: f_x=0, f_y=0 » Zweite Ableitungen: f_xx, f_xy, f_yy » D = f_xx·f_yy − f_xy² » Hesse-Kriterium anwenden

f = x²+y² ∇f = (2x,2y) ⇒ krit. Punkt (0,0) f_xx=2, f_yy=2, f_xy=0 D = 4 > 0, f_xx > 0 ⇒ lokales Minimum

f = −x²−y² ∇f = (−2x,−2y) ⇒ (0,0) H = [−2 0; 0 −2] D = 4 > 0, f_xx < 0 ⇒ lokales Maximum

f = x²−y² ∇f = (2x,−2y) ⇒ (0,0) H = [2 0; 0 −2] D = −4 < 0 ⇒ Sattelpunkt

f = x^4+y^4 ∇f = (4x³,4y³) ⇒ (0,0) f_xx = 12x², f_yy = 12y² im Ursprung: D = 0 ⇒ Kriterium versagt! direkt: x^4+y^4 ≥ 0 ⇒ trotzdem Minimum

D ⊂ R^n abgeschlossen & beschränkt f: D → R stetig ⇒ f besitzt globales Max UND Min

Auswendig: • Def. lokales Max/Min • Def. kritischer Punkt • Notwendig: ∇f = 0 • Definition Hesse-Matrix • Vorauss.: f ∈ C² • Determinantenkriterium • Fallunterscheidung: D>0, f_xx>0 → Min D>0, f_xx<0 → Max D<0 → Sattelpunkt D=0 → keine Aussage • Satz von Weierstraß (global)