Nur Definitionen
Folgen
Reihen
Asympt.
Elem.Fkt
Stetig
Abl.
Taylor
∫ unbest.
∫ best.
∫ uneig.
Mehrdim
Grad
Extrema
ANALYSIS 1 — PRÜFUNGS-CHEATSHEET
Alle Sätze mit Voraussetzungen
Folgen reeller Zahlen
Grundbegriffe
Definition: Folge
Eine Folge ist eine Abbildung \(a: \mathbb{N} \to \mathbb{R},\ n \mapsto a_n\) .
Schreibweise \((a_n)_{n \in \mathbb{N}} = a_1, a_2, a_3, \ldots\)
Grenzwert (ε-N-Definition)
Muss in der Prüfung exakt beherrscht werden!
\((a_n)\) konvergiert gegen \(a \in \mathbb{R}\) , wenn:
\(\forall \varepsilon>0\ \exists N \in \mathbb{N}\), sodass \(\forall n \ge N\):
\(|a_n - a| < \varepsilon\)
Notation \(\lim_{n\to\infty} a_n = a\) oder \(a_n \to a\)
sonst Folge divergiert
Nullfolgen
Folge mit \(\lim a_n = 0\) .
\(\frac{1}{n}\) \(\to 0\)
\(\frac{1}{n^k}\) \(\to 0\) (\(k > 0\))
\(\frac{\ln(n)}{n}\) \(\to 0\)
\(q^n\) \(\to 0\) (\(|q| < 1\))
\(\frac{n}{2^n}\) \(\to 0\)
\(\frac{n!}{n^n}\) \(\to 0\)
Zentrale Sätze
Eindeutigkeit des Grenzwerts SATZ
Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert.
Vorauss. Folge ist konvergent
Folgerung Zwei verschiedene Grenzwerte unmöglich
Beschränktheit SATZ
Def.: \((a_n)\) beschränkt \(\Leftrightarrow \exists M>0\) mit \(|a_n| \le M\) für alle n.
Satz Konvergent ⇒ beschränkt
Vorauss. a_n konvergiert
Achtung: Umkehrung gilt nicht ! Gegenbeispiel: \(a_n = (-1)^n\) ist beschränkt, aber nicht konvergent.
Monotonie
mon. wachsend \(a_n \le a_{n+1}\) \(\forall n\)
streng mon. w. \(a_n < a_{n+1}\) \(\forall n\)
mon. fallend \(a_n \ge a_{n+1}\) \(\forall n\)
Monotone Konvergenz SATZ
Extrem prüfungsrelevant — löst viele Rekursionsaufgaben!
Fall mon. wachsend + nach oben beschränkt (\(a_n \le a_{n+1},\ a_n \le M\) )
Fall mon. fallend + nach unten beschränkt (\(a_n \ge a_{n+1},\ a_n \ge m\) )
Dann \(\lim a_n\) existiert \(\Rightarrow\) Folge konvergiert
Rechenregeln für Grenzwerte SATZ
Seien \(a_n \to a\) und \(b_n \to b\) . Dann:
Addition \(\lim(a_n+b_n) = a+b\)
Subtraktion \(\lim(a_n-b_n) = a-b\)
Multiplikation \(\lim(a_n b_n) = ab\)
Division \(\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}\) Vorauss.: \(b \neq 0\) , \(b_n \neq 0\) für große n
Betrag \(\lim |a_n| = |a|\)
Potenzen \(\lim (a_n)^k = a^k\) (\(k \in \mathbb{N}\))
Wurzeln \(\lim \sqrt{a_n} = \sqrt{a}\) Vorauss.: \(a_n \ge 0,\ a \ge 0\)
Sandwich-Theorem SATZ
Einschließungsprinzip — wurde direkt in Prüfungen abgefragt.
\(a_n \le b_n \le c_n\) (\(\forall n \ge N\))
\(\lim a_n = L\) und \(\lim c_n = L\)
\(\Rightarrow \lim b_n = L\)
Vorauss. \(a_n \le b_n \le c_n\) ab einem Index
Vorauss. beide äußere Folgen haben denselben Grenzwert
Standardgrenzwerte & Wachstum
Wichtige Standardgrenzwerte
Praktisch auswendig beherrschen!
Polynome \(\frac{1}{n^k} \to 0\) (\(k>0\))
ln vs Potenz \(\frac{\ln(n)}{n^\alpha} \to 0\) (\(\alpha>0\))
Exponentiell \(q^n \to 0\) (\(|q|<1\))
n! vs a^n \(\frac{n!}{a^n} \to \infty\) (\(a>0\) fest)
Potenz vs a^n \(\frac{n^k}{a^n} \to 0\) (\(a>1\))
Wachstumshierarchie ★
Eine der wichtigsten Merkhilfen der gesamten Analysis.
\(\ln(n) \ll n^\alpha \ll a^n \ll n! \ll n^n\)
(\(\alpha > 0,\ a > 1\))
Rekursion & Häufungspunkte
Rekursive Folgen — Schema
» Wohldefiniertheit zeigen
» Monotonie (Induktion)
» Beschränktheit (Induktion)
» Monotoniekriterium anwenden
» Grenzwert: \(L = f(L)\) lösen
Häufungspunkte & Bolzano-Weierstraß SATZ
Def.: \(a\) heißt Häufungspunkt von \((a_n)\), wenn eine Teilfolge existiert, die gegen \(a\) konvergiert.
Satz B-W Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge
Vorauss. (a_n) beschränkt
Folgerung mind. ein Häufungspunkt existiert
★ Prüfungsrelevant
Auswendig:
• ε-N-Definition der Konvergenz
• Definition Nullfolge
• Rechenregeln für Grenzwerte
• Konvergent ⇒ beschränkt
• Monotoniekriterium
• Sandwich-Theorem
• Satz von Bolzano-Weierstraß
• Definition Häufungspunkt
• Standardgrenzwerte
• Wachstumshierarchie
Unendliche Reihen
Grundbegriffe
Definition: Reihe
Die Reihe Σ a_n ist definiert über die Partialsummenfolge .
Partialsumme s_n = a1 + a2 + ... + a_n
konvergent wenn lim s_n = s existiert; dann Σ a_n = s
divergent wenn kein Grenzwert existiert
Gaußsche Summenformel
Klassisches Beispiel einer endlichen Partialsumme — per Induktion beweisbar.
Σ(k=1..n) k = 1+2+...+n = n(n+1)/2
Herleitung Summe zweimal (vorwärts + rückwärts) addieren: n · (n+1) , dann halbieren
verwandt Σ(k=1..n) k^2 = n(n+1)(2n+1)/6
Notwendige Bedingung SATZ
Σ a_n konvergiert ⇒ a_n → 0 .
Vorauss. Reihe konvergiert
Folgerung lim a_n = 0
Achtung: Umkehrung gilt nicht ! Σ 1/n divergiert, obwohl 1/n → 0 . (Bereits in Prüfungen abgefragt.)
Wichtige Reihen
Geometrische Reihe SATZ
Konvergiert genau dann , wenn |q| < 1 .
Σ(n=0..∞) q^n = 1/(1−q) (|q| < 1)
|q| ≥ 1 divergent
Σ(1/2)^n konvergent
Σ(−1/3)^n konvergent
Σ2^n, Σ(−1)^n divergent
Harmonische Reihe SATZ
Satz Σ 1/n = ∞ → divergent
p-Reihen (hyperharmonisch) SATZ
Σ 1/n^p konvergiert genau dann , wenn p > 1 .
Σ1/n², Σ1/n³ konvergent
Σ1/√n, Σ1/n divergent (p ≤ 1)
Konvergenzkriterien
Majorantenkriterium SATZ
0 ≤ a_n ≤ b_n (n groß)
Σ b_n konvergiert ⇒ Σ a_n konvergiert
Vorauss. a_n ≥ 0 · a_n ≤ b_n · Σb_n konv.
Vergleiche mit geom. Reihen, p-Reihen, Exponentialreihen
Beispiel 1/(n²+1) ≤ 1/n² , Σ1/n² konv. ⇒ konvergent
Minorantenkriterium SATZ
Wurde in Prüfungen explizit verlangt!
0 ≤ b_n ≤ a_n (n groß)
Σ b_n divergiert ⇒ Σ a_n divergiert
Vorauss. a_n ≥ 0 · b_n ≤ a_n · Σb_n div.
Beispiel 1/(n+1) ≥ 1/(2n) , Σ1/n div. ⇒ divergent
Quotientenkriterium SATZ
L = lim (a_(n+1)/a_n) (a_n > 0)
L < 1 ⇒ konvergent
L > 1 ⇒ divergent
L = 1 ⇒ keine Aussage
Vorauss. a_n > 0 · Grenzwert existiert
Typisch für Fakultäten, Exponentialfkt., Potenzreihen
Beispiel Σ n!/2^n: (n+1)/2 → ∞ ⇒ divergent
Wurzelkriterium SATZ
L = lim sup |a_n|^(1/n)
L < 1 ⇒ konvergent
L > 1 ⇒ divergent
L = 1 ⇒ keine Aussage
Typisch für Potenzreihen, Ausdrücke mit n-ter Potenz
Beispiel Σ(3/4)^n: n-te Wurzel = 3/4 < 1 ⇒ konvergent
Integralkriterium SATZ
Σ a_n konvergiert ⇔ ∫_1^∞ f(x)dx konvergiert
Vorauss. f stetig · f ≥ 0 · f mon. fallend · a_n = f(n)
Beispiel f(x)=1/x^p : Integral konv. ⇔ p>1 ⇒ Σ1/n^p konv. ⇔ p>1
Absolute Konvergenz & Alternierende Reihen
Absolute Konvergenz SATZ
Def.: Σ a_n heißt absolut konvergent, wenn Σ |a_n| konvergiert.
Satz Absolut konvergent ⇒ konvergent
Beispiel Σ(−1)^n/n² abs. konv., da Σ1/n² konv.
Leibniz-Kriterium SATZ
Σ (−1)^n a_n konvergiert, falls:
• a_n ≥ 0
• a_n monoton fallend
• a_n → 0
Beispiel Σ(−1)^n/n konvergent , aber Σ1/n divergent ⇒ nicht absolut konvergent
Cauchy-Produkt SATZ
Für A = Σa_n, B = Σb_n:
c_n = a0b_n + a1b_(n-1) + ... + a_nb0
Σ c_n = (Σ a_n)(Σ b_n)
Vorauss. Absolute Konvergenz beider Reihen — unbedingt erwähnen!
Potenzreihen
Potenzreihen & Konvergenzradius SATZ
Def.: Σ a_n(x−x0)^n . Regelmäßig in Theorie- & MC-Fragen!
Radius R |x−x0| < R : Konvergenz ; |x−x0| > R : Divergenz
Rand |x−x0| = R : gesondert untersuchen
Quotientenformel R = lim |a_n/a_(n+1)| (falls existent)
Wurzelformel R = 1 / lim sup |a_n|^(1/n)
Vergleichsreihen (auswendig!)
Σ q^n konv. ⇔ |q| < 1
Σ 1/n divergent
Σ 1/n^p konv. ⇔ p > 1
Σ 1/n! konvergent
Entscheidungsschema Reihen
» a_n → 0? Nein ⇒ divergent, fertig
» Vergleich: 1/n^p, q^n, n!/a^n
» Majoranten-/Minorantenkriterium
» Quotientenkriterium
» Wurzelkriterium
» Integralkriterium
» Randfälle separat
★ Prüfungsrelevant
Auswendig:
• Definition Reihe & Partialsummen
• Notwendige Bedingung: a_n → 0
• Geometrische Reihe
• Harmonische Reihe
• p-Reihen
• Majorantenkriterium
• Minorantenkriterium
• Quotientenkriterium
• Wurzelkriterium
• Integralkriterium
• Absolute Konvergenz
• Leibniz-Kriterium
• Cauchy-Produkt
• Konvergenzradius Potenzreihen
Asymptotischer Vergleich
Besonders prüfungsrelevant! Prüfung 13.12.2024: Definition a_n ~ b_n + Stirling-Formel.
Asymptotische Gleichheit
Definition: a_n ~ b_n
a_n ~ b_n ⇔ lim (a_n/b_n) = 1
Vorauss. b_n ≠ 0 für große n
Bedeutung relativer Fehler verschwindet für große n
n²+n ~ n² (denn 1+1/n → 1 )
2n²+5n ~ 2n²
ln(n+1) ~ ln(n)
sin(1/n) ~ 1/n
e^(1/n)−1 ~ 1/n
Rechenregeln für ~ SATZ
Seien a_n ~ b_n und c_n ~ d_n . Dann:
Multiplikation a_nc_n ~ b_nd_n
Division a_n/c_n ~ b_n/d_n Vorauss.: c_n,d_n ≠ 0
Potenzen (a_n)^k ~ (b_n)^k (k ∈ N)
Landau-Symbole
O-Notation (Groß-O)
a_n = O(b_n) ⇔ ∃C>0, N:
|a_n| ≤ C|b_n| ∀n ≥ N
Bedeutung a_n wächst höchstens so schnell wie b_n
Beispiele n²+n = O(n²) , ln(n) = O(n) , n = O(2^n)
o-Notation (Klein-o)
a_n = o(b_n) ⇔ lim (a_n/b_n) = 0
Beispiele ln(n) = o(n) , n = o(n²) , n² = o(2^n)
Θ-Notation
Bereits in Multiple-Choice-Aufgaben geprüft!
a_n = Θ(b_n) ⇔ ∃c1,c2>0:
c1|b_n| ≤ |a_n| ≤ c2|b_n| (n groß)
Bedeutung dieselbe Wachstumsordnung
Beispiele n²+n = Θ(n²) , 3n+7 = Θ(n) , 2^n+n³ = Θ(2^n)
Wachstumshierarchie (genau)
1 « ln(n) « n^α « a^n « n! « n^n
(α > 0, a > 1)
ln(n) = o(n^α)
n^α = o(a^n)
a^n = o(n!)
n! = o(n^n)
Stirling-Formel
Stirling-Formel SATZ
n! ~ (n/e)^n √(2πn)
n! = (n/e)^n √(2πn)(1+o(1))
Vorauss. n → ∞
Anwendung Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Reihen mit n!
★ Zentraler Binomialkoeffizient
Genau diese Aufgabe kam in der Prüfung Dez. 2024!
(2n über n) = (2n)!/(n!)²
Stirling einsetzen:
(2n)! ~ (2n/e)²^n √(4πn)
n! ~ (n/e)^n √(2πn)
⇒ (2n über n) ~ 4^n/√(πn)
⇒ (2n über n)·4^(-n) ~ 1/√(πn)
also c = 1/√π, α = −1/2
Standardentwicklungen (x → 0)
Asymptotische Standardentwicklungen
Praktisch auswendig — extrem nützlich für Grenzwerte!
sin(x) ~ x
tan(x) ~ x
e^x−1 ~ x
ln(1+x) ~ x
1−cos(x) ~ x²/2
√(1+x)−1 ~ x/2
arcsin(x) ~ x
arctan(x) ~ x
ln(n+1) ~ ln(n) (n→∞)
Vorgehen bei Asymptotik-Aufgaben
Polynome: höchste Potenz
3n^4+7n²−5 ~ 3n^4
Rationale Fkt.: höchste Potenzen kürzen
(n²+1)/(3n²−5) → 1/3
Fakultäten: Stirling
Exponentiell: Wachstumshierarchie
Kleine Argumente: sin(x)~x, ln(1+x)~x, e^x−1~x
Typische Prüfungsaufgaben
n²+3n+1 ~ n²
ln(n)/√n → 0 (da ln(n) = o(n^α) ∀α>0)
(2n über n)4^(-n) ~ 1/√(πn) (Stirling)
Σ(2n über n)4^(-n) a_n ~ 1/(√π·n^½), Vergleich Σ1/√n div. ⇒ divergent
★ Prüfungsrelevant
Auswendig:
• Definition a_n ~ b_n
• Rechenregeln für ~
• Definition O
• Definition o
• Definition Θ
• Wachstumshierarchie
• Stirling-Formel
• Standardentwicklungen (x→0)
• Stirling auf Binomialkoeff.
• Asympt. Vergleich mit p-Reihen
für Reihenkonvergenz
Elementare Funktionen
Eines der wichtigsten Kapitel — die gesamte Differential- und Integralrechnung baut darauf auf.
Polynome & Potenzen
Polynomfunktionen
f(x) = a_nx^n + ... + a1x + a0 , a_n ≠ 0.
Def.-Bereich D = R
Eigensch. stetig auf R, beliebig oft differenzierbar, keine Lücken
Ableitung (x^n)' = nx^(n-1) , (af)' = af' , (f+g)' = f'+g'
Integral ∫x^ndx = x^(n+1)/(n+1)+C (n ≠ −1)
Potenzfunktionen x^α
α ganz D = R
α rational (gerader Nenner) D = [0,∞)
α irrational D = (0,∞)
Ableitung (x^α)' = αx^(α-1) (x im Def.-Bereich)
Integral ∫x^αdx = x^(α+1)/(α+1)+C (α ≠ −1)
Spezialfall ∫1/x dx = ln|x|+C
Exponential & Logarithmus
Exponentialfunktionen a^x
f(x) = a^x mit a > 0, a ≠ 1.
a > 1 streng monoton wachsend
0 < a < 1 streng monoton fallend
D / W D = R, W = (0,∞)
e-Funktion (e^x)' = e^x , ∫e^xdx = e^x+C
allg. Basis (a^x)' = a^xln(a) , ∫a^xdx = a^x/ln(a)+C
Logarithmusfunktionen
y = log_a(x) ⇔ a^y = x . Vorauss.: a>0, a≠1, x>0.
D / W D = (0,∞), W = R
natürlich ln(x) = log_e(x)
Regeln ln(xy)=ln x+ln y , ln(x/y)=ln x−ln y , ln(x^α)=αln x
Werte ln(1)=0 , ln(e)=1
Ableitung (ln x)' = 1/x (x>0), (log_ax)' = 1/(x ln a)
Integral ∫1/x dx = ln|x|+C
Trigonometrische Funktionen
sin, cos, tan
sin D=R, W=[−1,1], Periode 2π; (sin)'=cos , ∫sin=−cos+C
cos (cos)'=−sin , ∫cos=sin+C
tan tan=sin/cos , D=R\{π/2+kπ}
tan' 1/cos²(x) = 1+tan²(x)
∫tan −ln|cos(x)|+C
Identitäten & Theoreme
Pythagoras:
sin²x + cos²x = 1
1 + tan²x = 1/cos²x
Addition:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
cos(x+y) = cos x cos y − sin x sin y
tan(x+y) = (tan x + tan y)/(1 − tan x tan y)
Doppelwinkel:
sin(2x) = 2 sin x cos x
cos(2x) = cos²x − sin²x
= 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x
Halbwinkel (für Integrale!):
sin²x = (1 − cos 2x)/2
cos²x = (1 + cos 2x)/2
Arkusfunktionen
arcsin D=[−1,1], W=[−π/2,π/2]; (arcsin)' = 1/√(1−x²)
arccos (arccos)' = −1/√(1−x²)
arctan (arctan)' = 1/(1+x²)
Integral ∫1/(1+x²)dx = arctan(x)+C
Hyperbolische Funktionen
sinh (e^x−e^(-x))/2 ; (sinh)'=cosh , ∫sinh=cosh+C
cosh (e^x+e^(-x))/2 ; (cosh)'=sinh , ∫cosh=sinh+C
tanh sinh/cosh ; (tanh)' = 1−tanh²
Grenzwerte & Tabellen
Wichtige Grenzwerte (x → 0)
Unbedingt auswendig!
sin(x)/x → 1
tan(x)/x → 1
(e^x−1)/x → 1
ln(1+x)/x → 1
(1−cos x)/x² → 1/2
(1+x)^α = 1 + αx + o(x)
★ Tabelle: Ableitungen
c 0
x 1
x^n nx^(n-1)
x^α αx^(α-1)
e^x e^x
a^x a^x ln(a)
ln(x) 1/x
log_a(x) 1/(x ln a)
sin(x) cos(x)
cos(x) −sin(x)
tan(x) 1/cos²(x)
arcsin(x) 1/√(1−x²)
arccos(x) −1/√(1−x²)
arctan(x) 1/(1+x²)
sinh(x) cosh(x)
cosh(x) sinh(x)
tanh(x) 1−tanh²(x)
★ Tabelle: Stammfunktionen
x^n x^(n+1)/(n+1)+C (n≠−1)
1/x ln|x|+C
e^x e^x+C
a^x a^x/ln(a)+C
sin(x) −cos(x)+C
cos(x) sin(x)+C
tan(x) −ln|cos(x)|+C
1/(1+x²) arctan(x)+C
1/√(1−x²) arcsin(x)+C
sinh(x) cosh(x)+C
cosh(x) sinh(x)+C
★ Prüfungsrelevant
Auswendig:
• Definitionsbereiche aller elem. Fkt.
• Logarithmus-Rechenregeln
• Additionstheoreme sin/cos
• Doppel- & Halbwinkelformeln
• Alle elementaren Ableitungen
• Alle elementaren Stammfunktionen
• Standardgrenzwerte
• Eigenschaften exp & ln
• Arkusfunktionen
• Vorauss. Potenzregel (allg. α)
Grenzwerte von Funktionen & Stetigkeit
Grundlage der gesamten Differential- & Integralrechnung. Exakte Definitionen wurden direkt in Prüfungen abgefragt!
Grenzwerte
Grenzwert einer Funktion (ε-δ)
Sei \(f: D \to \mathbb{R}\) , \(x_0\) Häufungspunkt von D.
\(\lim_{x\to x_0} f(x) = L \Leftrightarrow\)
\(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\):
\(0 < |x-x_0| < \delta\)
\(\Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon\)
Vorauss. \(x_0\) Häufungspunkt des Def.-Bereichs
Hinweis f muss in \(x_0\) selbst nicht definiert sein
Einseitige Grenzwerte SATZ
rechtsseitig \(\lim_{x\to x_0^+} f(x)\)
linksseitig \(\lim_{x\to x_0^-} f(x)\)
Satz Grenzwert existiert \(\Leftrightarrow\) links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und sind gleich
Rechenregeln für Grenzwerte SATZ
Seien \(\lim f = a\) , \(\lim g = b\) :
Summe/Diff. \(\lim(f\pm g) = a\pm b\)
Produkt \(\lim(fg) = ab\)
Quotient \(\lim\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{a}{b}\) Vorauss.: \(b \neq 0\)
Potenz \(\lim f^n = a^n\)
Wurzel \(\lim \sqrt{f} = \sqrt{a}\) Vorauss.: \(a \ge 0\)
Betrag \(\lim |f| = |a|\)
Grenzwerte elementarer Funktionen
Polynome überall stetig: \(\lim P(x) = P(x_0)\)
rationale Fkt. \(\lim \frac{P}{Q} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}\) Vorauss.: \(Q(x_0) \neq 0\)
e^x \(\lim e^x = e^{x_0}\)
ln \(\lim \ln(x) = \ln(x_0)\) für \(x_0 > 0\)
sin, cos überall stetig
Stetigkeit
Definition: Stetigkeit ★
Exakte Prüfungsdefinition!
\(f\) stetig in \(x_0 \in D \Leftrightarrow\)
\(\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\)
äquivalent (ε-δ):
\(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\):
\(|x-x_0| < \delta\)
\(\Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon\)
Arten von Unstetigkeiten
hebbar \(\frac{x^2-1}{x-1}\) , \(x \neq 1\): Grenzwert existiert, \(f(1)\) fehlt
Sprungstelle \(\operatorname{sgn}(x)\) : Links-/Rechtsgrenzwert verschieden
Polstelle \(\frac{1}{x}\) : Funktionswert \(\to \pm\infty\)
oszillierend \(\sin(1/x)\) , \(x\to 0\): Grenzwert existiert nicht
Algebra stetiger Funktionen SATZ
Sind f, g stetig in \(x_0\), dann auch:
stetig \(f+g\) , \(f-g\) , \(fg\) , \(f/g\)
Vorauss. bei f/g: \(g(x_0) \neq 0\)
Verkettung stetiger Fkt. SATZ
Eine der wichtigsten Aussagen der Analysis!
Satz \(f(g(x))\) stetig in \(x_0\)
Vorauss. g stetig in \(x_0\)
Vorauss. f stetig in \(g(x_0)\)
Die großen Sätze
Zwischenwertsatz SATZ
f nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.
\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig
\(\forall y\) zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\)
\(\exists c \in [a,b]: f(c) = y\)
Vorauss. f stetig
Vorauss. abgeschlossenes Intervall \([a,b]\)
Anwendung Existenz von Nullstellen
Nullstellensatz von Bolzano SATZ
Extrem prüfungsrelevant!
\(f(a)\cdot f(b) < 0\)
\(\Rightarrow \exists c \in (a,b): f(c) = 0\)
Vorauss. f stetig auf \([a,b]\)
Vorauss. Vorzeichenwechsel
Satz von Weierstraß (Max/Min) SATZ
\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig \(\Rightarrow\) f besitzt Maximum und Minimum .
Vorauss. Stetigkeit
Vorauss. abgeschlossenes und beschränktes Intervall
Ohne Vorauss. falsch: \(f(x)=x\) auf \((0,1)\) hat weder Max noch Min (Intervall nicht abgeschlossen).
Gleichmäßige Stetigkeit & Heine-Cantor SATZ
Def. glm. stetig auf D:
\(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\) (für ALLE \(x,y \in D\)):
\(|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon\)
Unterschied normal: \(\delta\) darf von \(x_0\) abhängen; glm.: \(\delta\) hängt nur von \(\varepsilon\) ab
Heine-Cantor f stetig auf kompaktem \([a,b]\) \(\Rightarrow\) f gleichmäßig stetig
Vorauss. f stetig · \([a,b]\) kompakt
Spezielle Grenzwerte
Standardgrenzwerte (x → 0)
\(\sin(x)/x\) \(\to 1\)
\(\tan(x)/x\) \(\to 1\)
\((e^x-1)/x\) \(\to 1\)
\(\ln(1+x)/x\) \(\to 1\)
\((1-\cos x)/x^2\) \(\to 1/2\)
\((1+x)^\alpha\) \(= 1+\alpha x+o(x)\)
Unendliche Grenzwerte & Grenzwerte im Unendlichen
\(\lim f(x) = \infty\ (x\to x_0)\):
\(\forall M>0\ \exists \delta>0\):
\(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x) > M\)
Bsp: \(1/x^2 \to \infty\) für \(x\to 0\)
\(\lim f(x) = L\ (x\to \infty)\):
\(\forall \varepsilon>0\ \exists N>0\):
\(x>N \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon\)
\(1/x\) \(\to 0\)
\(\ln(x)/x\) \(\to 0\)
\(e^{-x}\) \(\to 0\)
\(\arctan(x)\) \(\to \pi/2\)
★ Prüfungsrelevant
Auswendig:
• ε-δ-Definition Funktionsgrenzwert
• Exakte Definition Stetigkeit
• Links-/rechtsseitiger Grenzwert
• Rechenregeln für Grenzwerte
• Algebra stetiger Funktionen
• Verkettungssatz
• Zwischenwertsatz
• Nullstellensatz von Bolzano
• Satz von Weierstraß
• Heine-Cantor
• Def. gleichmäßige Stetigkeit
• Standardgrenzwerte
• Def. unendliche Grenzwerte
• Def. Grenzwerte im Unendlichen
Die Ableitung
Grundlage der gesamten Differentialrechnung. Die exakte Definition wurde direkt in Prüfungen abgefragt!
Definition & Grundsatz
Definition: Ableitung ★
\(f\) differenzierbar in \(x_0\) \(\Leftrightarrow\)
\(f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)
existiert
Differenzenquot. \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) = mittlere Änderungsrate
\(f'(x_0)\) momentane Änderungsrate
geometrisch Steigung der Tangente in \((x_0, f(x_0))\)
Differenzierbar ⇒ stetig SATZ
Satz \(f\) differenzierbar in \(x_0\) \(\Rightarrow\) \(f\) stetig in \(x_0\)
Vorauss. \(f\) differenzierbar in \(x_0\)
Achtung: Umkehrung gilt nicht ! \(f(x)=|x|\) ist stetig in 0, aber nicht differenzierbar.
Ableitungsregeln
Linearität SATZ
\((\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'\)
Vorauss. \(f, g\) differenzierbar
Spezialfälle \((f\pm g)'=f'\pm g'\) , \((cf)'=cf'\)
Produktregel SATZ
\((fg)' = f'g + fg'\)
Vorauss. \(f, g\) differenzierbar
Beispiel \((x^2e^x)' = 2xe^x+x^2e^x = e^x(2x+x^2)\)
Quotientenregel SATZ
\(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}\)
Vorauss. \(f\) diff'bar · \(g\) diff'bar · \(g(x) \neq 0\)
Beispiel \(\left(\frac{x}{x+1}\right)' = \frac{1}{(x+1)^2}\)
Kettenregel SATZ ★
Einer der wichtigsten Sätze der gesamten Analysis!
\(h(x) = f(g(x))\)
\(\Rightarrow h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
Vorauss. \(g\) differenzierbar in \(x\)
Vorauss. \(f\) differenzierbar in \(g(x)\)
Beispiel \((\sin(x^2))' = \cos(x^2)\cdot 2x\)
Beispiel \((\ln(1+x^2))' = \frac{2x}{1+x^2}\)
Ableitung der Umkehrfunktion SATZ
\((f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\)
mit \(y_0 = f(x_0)\)
Vorauss. \(f\) streng monoton, stetig, diff'bar (Umkehrfkt. existiert) · \(f'(x_0) \neq 0\)
Beispiel \(f=e^x, f^{-1}=\ln: (\ln x)' = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}\)
Implizites Differenzieren
Wurde bereits in Prüfungen verlangt! Kurve \(F(x,y)=0\) nach x ableiten.
Beispiel Kreis:
\(x^2 + y^2 = 1\)
\(2x + 2yy' = 0\)
\(\Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\)
Höhere Ableitungen & Anwendungen
Höhere Ableitungen & Leibniz-Regel SATZ
Notation \(f'' = (f')'\) , allgemein \(f^{(n)}\)
Beispiel \(x^4: 4x^3 \to 12x^2 \to 24x \to 24\)
Leibniz-Regel:
\((fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}\)
n=1: Produktregel
\(n=2: (fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''\)
Tangente & Normale
Tangente in x0:
\(y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)\)
Bsp: \(f=x^2, x_0=1: y = 1+2(x-1) = 2x-1\)
Normale (senkrecht):
\(m_N = -\frac{1}{f'(x_0)}\) \((f'(x_0) \neq 0)\)
Kriterien für Differenzierbarkeit
\(|x|\) links: −1, rechts: +1 ⇒ nicht diff'bar in 0
\(\sqrt{x}\) nur für x > 0 differenzierbar
stückweise prüfen: Existenz · Stetigkeit · Links- = Rechtsableitung
★ Prüfungsrelevant
Auswendig:
• Definition der Ableitung
• Geometrische Interpretation
• Differenzierbar ⇒ stetig
• Linearität
• Produktregel
• Quotientenregel
• Kettenregel
• Ableitung der Umkehrfunktion
• Implizites Differenzieren
• Tangentengleichung
• Tabelle elem. Ableitungen (→ Elementare Funktionen)
• Voraussetzungen aller Regeln!
Taylor-Formel & Mittelwertsatz
Mittelwertsatz + Voraussetzungen wurden bereits direkt in Prüfungen abgefragt!
Die Mittelwertsätze
Satz von Rolle SATZ
\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) mit
• f stetig auf [a,b]
• f diff'bar auf (a,b)
• \(f(a) = f(b)\)
\(\Rightarrow \exists c \in (a,b): f'(c) = 0\)
geometrisch mind. ein Punkt mit horizontaler Tangente
Vorauss.! Stetigkeit auf [a,b] , Diff'barkeit auf (a,b) , gleiche Randwerte — unbedingt angeben!
Mittelwertsatz (Lagrange) SATZ ★
\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\)
• stetig auf [a,b]
• diff'bar auf (a,b)
\(\Rightarrow \exists c \in (a,b):\)
\(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
geometrisch Tangente hat irgendwo dieselbe Steigung wie die Sekante
Vorauss.! immer vollständig nennen: stetig auf [a,b] + diff'bar auf (a,b)
Verallg. Mittelwertsatz (Cauchy) SATZ
\(f, g: [a,b] \to \mathbb{R}\)
• stetig auf [a,b]
• diff'bar auf (a,b)
• \(g'(x) \neq 0\) auf (a,b)
\(\Rightarrow \exists c \in (a,b):\)
\(\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)
Spezialfall \(g(x)=x\) ⇒ gewöhnlicher Mittelwertsatz
Monotonie & Extrema
Monotoniekriterium SATZ
Vorauss.: f differenzierbar auf I.
\(f' \ge 0\) monoton wachsend
\(f' > 0\) streng monoton wachsend
\(f' \le 0\) monoton fallend
\(f' < 0\) streng monoton fallend
Lokale Extrema: notwendige Bedingung SATZ
Satz lokales Extremum in \(x_0\) + f dort diff'bar ⇒ \(f'(x_0) = 0\)
Begriff solche Punkte = kritische Stellen
Achtung: \(f'(x_0)=0\) bedeutet nicht automatisch Extremum! Bsp: \(f(x)=x^3\) , \(f'(0)=0\), aber kein Extremum.
Erstes Ableitungs-Kriterium
Maximum f' wechselt + → −
Minimum f' wechselt − → +
kein Extremum kein Vorzeichenwechsel
Zweites Ableitungs-Kriterium SATZ
Vorauss.: \(f'(x_0) = 0\) .
\(f''(x_0) < 0\) lokales Maximum
\(f''(x_0) > 0\) lokales Minimum
\(f''(x_0) = 0\) keine Aussage → weitere Abl. / Vorzeichenwechsel
Krümmung & Wendepunkte
\(f'' > 0\) konvex (linksgekrümmt)
\(f'' < 0\) konkav (rechtsgekrümmt)
Wendepunkt notw. \(f''(x_0) = 0\)
hinreichend f'' wechselt Vorzeichen; oder \(f'''(x_0) \neq 0\)
Taylor
Taylorpolynom DEF
\(T_n(x) = f(x_0)\)
\(+ f'(x_0)(x-x_0)\)
\(+ \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\)
+ ...
\(+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)
Vorauss. f besitzt n Ableitungen in Umgebung von \(x_0\)
Taylor-Formel mit Lagrange-Restglied SATZ
\(f(x) = T_n(x) + R_n(x)\)
\(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)
\(\xi\) zwischen \(x_0\) und \(x\)
Vorauss. \(f \in C^{(n+1)}\) (n+1 stetige Ableitungen)
Maclaurin-Reihen (x0 = 0) ★
Weitgehend auswendig beherrschen!
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
\(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\)
\(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\)
\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots\)
\((|x| < 1)\)
\(\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\)
\((|x| < 1)\)
\(\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots\)
\((|x| \le 1)\)
Regel von de l'Hospital SATZ ★
\(\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\)
Vorauss. 0/0 -Form oder ∞/∞ -Form
Vorauss. f, g diff'bar in Umgebung von \(x_0\)
Vorauss. \(g'(x) \neq 0\)
Vorauss. \(\lim f'/g'\) existiert
Bsp \(\frac{\sin(x)}{x} \to \frac{\cos(x)}{1} \to 1\) \((x\to 0)\)
Bsp \(\frac{\ln(x)}{x} \to \frac{1/x}{1} \to 0\) \((x\to \infty)\)
Bsp \(\frac{e^x-1}{x} \to e^x \to 1\) \((x\to 0)\)
Standard-Taylorentwicklungen (x→0)
sin, tan \(\sim x\)
arcsin, arctan \(\sim x\)
ln(1+x) \(\sim x\)
\(e^x-1\) \(\sim x\)
\(1-\cos(x)\) \(\sim \frac{x^2}{2}\)
\(\sqrt{1+x}\) \(= 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \cdots\)
\((1+x)^\alpha\) \(= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)x^2}{2} + \cdots\)
Schema: Kurvendiskussion
» Definitionsbereich
» Symmetrien
» Nullstellen
» Grenzwerte & Asymptoten
» f': kritische Punkte, Monotonie, Extrema
» f'': Krümmung, Wendepunkte
» Skizze
★ Prüfungsrelevant
Auswendig:
• Satz von Rolle
• Mittelwertsatz (Lagrange)
• Verallg. MWS (Cauchy)
• Monotoniekriterium
• Erstes Ableitungs-Kriterium
• Zweites Ableitungs-Kriterium
• Wendepunktkriterium
• Taylorpolynom
• Taylor-Formel mit Restglied
• Maclaurin-Reihen
• de l'Hospital + Voraussetzungen!
• Standard-Taylorentwicklungen
Das unbestimmte Integral
Stammfunktion
Definition: Stammfunktion SATZ
F heißt Stammfunktion von f auf Intervall I, wenn F'(x) = f(x) ∀x ∈ I.
Notation ∫f(x)dx = F(x)+C , C ∈ R
Satz ★ Alle Stammfunktionen haben die Form F(x)+C — unterscheiden sich nur um eine Konstante (wurde explizit abgefragt!)
Vorauss. F Stammfunktion von f auf einem Intervall I
Linearität SATZ
∫(αf + βg)dx = α∫f dx + β∫g dx
Vorauss. f, g besitzen Stammfunktionen
Grundintegrale
x^n x^(n+1)/(n+1)+C (n≠−1)
1/x ln|x|+C
e^x e^x+C
a^x a^x/ln(a)+C (a>0, a≠1)
ln(x) x ln(x)−x+C (part. Int.)
sin(x) −cos(x)+C
cos(x) sin(x)+C
tan(x) −ln|cos(x)|+C
1/cos²(x) tan(x)+C
1/sin²(x) −cot(x)+C
1/(1+x²) arctan(x)+C
1/√(1−x²) arcsin(x)+C
sinh(x) cosh(x)+C
cosh(x) sinh(x)+C
Integrationstechniken
Substitutionsregel SATZ
∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du
mit u = g(x)
Vorauss. g diff'bar · f besitzt Stammfunktion
Vorgehen:
• u = g(x) festlegen
• du = g'(x)dx
• Integral in u umschreiben
• Integrieren
• Rücksubstitution
Bsp ∫2xe^(x²)dx = e^(x²)+C (u=x²)
Bsp ∫cos(3x)dx = 1/3sin(3x)+C (u=3x)
Partielle Integration SATZ
∫u dv = uv − ∫v du
Vorauss. u, v differenzierbar
LIATE-Regel (u-Wahl, oben zuerst):
L ogarithmus
I nverse Funktionen
A lgebraisch
T rigonometrisch
E xponentiell
Bsp ∫xe^xdx = (x−1)e^x+C
Bsp ∫ln(x)dx = x ln(x)−x+C
Bsp ∫x sin(x)dx = −x cos(x)+sin(x)+C
Rationale Funktionen
Typ ∫P'(x)/P(x)dx = ln|P(x)|+C
Beispiel ∫2x/(x²+1)dx = ln(x²+1)+C
Typ Partialbruchzerlegung
Bsp: ∫1/(x²−1)dx
x²−1 = (x−1)(x+1)
1/(x²−1) = A/(x−1) + B/(x+1)
→ Brüche einzeln integrieren
Trigonometrische Integrale
sin·cos nutze sin(2x)=2sin x cos x
Quadrate sin²x=(1−cos 2x)/2 , cos²x=(1+cos 2x)/2
Bsp: ∫sin²(x)dx
= ½∫(1−cos 2x)dx
= x/2 − sin(2x)/4 + C
Wurzel-Integrale (trig. Substitution)
∫dx/√(1−x²) Subst. x=sin(t) ⇒ arcsin(x)+C
∫dx/(1+x²) Subst. x=tan(t) ⇒ arctan(x)+C
Entscheidungsschema Integrale
f'(x) innerhalb einer Fkt.? → Substitution
Produkt zweier Fkt.-Typen? → part. Integration
Rationaler Bruch? → Partialbruchzerlegung
sin²/cos²? → Halbwinkelformeln
√(1−x²) oder 1+x²? → trig. Substitution
★ Prüfungsrelevant
Auswendig:
• Definition Stammfunktion
• Satz: alle Stammfkt. = F+C
• Linearität
• Potenzregel
• ∫1/x dx = ln|x|+C
• Substitutionsregel + Vorauss.
• Partielle Integration + Vorauss.
• Rationale Funktionen
• Halb-/Doppelwinkelformeln
• Tabelle Stammfunktionen
Das bestimmte Integral
Der Hauptsatz gehört zu den wichtigsten Sätzen der gesamten Analysis!
Riemann-Integral
Zerlegung & Ober-/Untersummen
Zerlegung: a = x0 < x1 < ... < x_n = b
Feinheit: |Z| = max(x_i−x_(i-1)) → 0
M_i = sup f, m_i = inf f (je Teilintervall)
Obersumme: O(f,Z) = Σ M_i(x_i−x_(i-1))
Untersumme: U(f,Z) = Σ m_i(x_i−x_(i-1))
stets: U(f,Z) ≤ O(f,Z)
Riemann-Integrierbarkeit DEF
f: [a,b] → R beschränkt heißt Riemann-integrierbar, wenn:
sup U(f,Z) = inf O(f,Z)
=: ∫_a^b f(x)dx
Stetig ⇒ integrierbar SATZ
Satz Jede stetige Funktion auf [a,b] ist Riemann-integrierbar
Vorauss. f stetig · [a,b] abgeschlossen & beschränkt
Eigenschaften des Integrals SATZ
Linearität ∫(αf+βg) = α∫f + β∫g
Additivität ∫_a^b = ∫_a^c + ∫_c^b (a<c<b)
Grenzen tauschen ∫_a^b f = −∫_b^a f
Nullintervall ∫_a^a f = 0
Monotonie f ≤ g ⇒ ∫f ≤ ∫g
Abschätzung m ≤ f ≤ M ⇒ m(b−a) ≤ ∫f ≤ M(b−a)
Betrag |∫f| ≤ ∫|f|
Hauptsatz ★
Erster Hauptsatz der Analysis SATZ
Verbindet Ableiten und Integrieren!
f stetig auf [a,b]
F(x) := ∫_a^x f(t)dt
⇒ F'(x) = f(x)
Vorauss. f stetig · x ∈ [a,b]
Zweiter Hauptsatz der Analysis SATZ
Wird in praktisch jeder Rechenaufgabe verwendet!
F Stammfunktion von f
⇒ ∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a)
Vorauss. F'(x) = f(x)
Beispiel ∫_0^1x²dx = [x³/3] = 1/3
Mittelwertsatz der Integralrechnung SATZ
f stetig auf [a,b]
⇒ ∃c ∈ [a,b]:
∫_a^b f(x)dx = f(c)(b−a)
Vorauss. f stetig · [a,b] abgeschlossen
Interpretation f(c) = Durchschnittswert der Funktion
Mittelwert 1/(b−a) · ∫_a^b f(x)dx
Anwendungen
Flächenberechnung
f ≥ 0 A = ∫_a^b f(x)dx
allgemein A = ∫_a^b |f(x)|dx
zwischen f, g A = ∫_a^b(f−g)dx (f ≥ g)
Beispiel f=x, g=x² auf [0,1]: ∫(x−x²) = ½−1/3 = 1/6
Rotationsvolumen & Bogenlänge
Rotation um x-Achse:
V = π ∫_a^b f(x)² dx (f ≥ 0)
Bsp: f=x auf [0,1]: V = π/3
Bogenlänge (f ∈ C¹):
L = ∫_a^b √(1+(f'(x))²) dx
Bsp: f=x auf [0,1]: L = √2
Vorauss. V: f ≥ 0; L: f stetig diff'bar, Intervall abgeschlossen
Symmetrie ★
Spart in Prüfungen oft viel Rechenarbeit!
gerade f(−x)=f(x) ∫_-a^a f = 2∫_0^a f
ungerade f(−x)=−f(x) ∫_-a^a f = 0
Integralkriterium für Reihen SATZ
Σ a_n konvergiert ⇔ ∫_1^∞ f(x)dx konvergiert
Vorauss. f stetig · f ≥ 0 · f mon. fallend · a_n = f(n)
Beispiel 1/x^p : konv. ⇔ p>1 ⇒ Σ1/n^p konv. ⇔ p>1
★ Prüfungsrelevant
Auswendig:
• Def. Riemann-Integrierbarkeit
• Stetig auf [a,b] ⇒ integrierbar
• Linearität
• Additivität
• Monotonie des Integrals
• Erster Hauptsatz
• Zweiter Hauptsatz
• MWS der Integralrechnung
• Integralkriterium + Vorauss.
• Fläche, Volumen, Bogenlänge
• Symmetrie gerade/ungerade
Uneigentliche Integrale
Vollständig Prüfungsstoff — insbesondere das Integralkriterium für Reihen.
Definitionen
Unendliche Grenze DEF
∫_a^∞ f(x)dx := lim(R→∞) ∫_a^R f(x)dx
∫_-∞^b f(x)dx := lim(R→-∞) ∫_R^b f(x)dx
konvergent Grenzwert existiert und ist endlich
beidseitig ∞ ∫_-∞^∞ = ∫_-∞^c + ∫_c^∞ — beide Teilintegrale müssen konvergieren!
Polstellen DEF
Pol links: ∫_a^b f = lim(x→a+) ∫_x^b f(t)dt
Pol rechts: ∫_a^b f = lim(x→b-) ∫_a^x f(t)dt
Pol innen (c): ∫_a^b = ∫_a^c + ∫_c^b
→ beide getrennt konvergent!
p-Integrale ★
p-Integrale SATZ
Unbedingt auswendig — extrem wichtige Tabelle!
∫_1^∞ 1/x^p dx konvergiert ⇔ p > 1
∫_0^1 1/x^p dx konvergiert ⇔ p < 1
Beweisidee ∫x^(-p) = x^(1-p)/(1−p) ; x^(1-p) → 0 ⇔ p>1
Standardbeispiele
∫_1^∞ 1/x² = 1 → konvergent (Stammfkt. −1/x)
∫_1^∞ 1/x ln(R) → ∞ → divergent
∫_0^1 1/√x = 2 → konvergent (Stammfkt. 2√x)
∫_0^1 1/x ln(x) → −∞ → divergent
∫_0^∞ e^(-x) = 1 → konvergent
∫_0^∞ e^(-ax) = 1/a (a > 0)
∫_0^∞ sin(x) divergent (−cos hat keinen Grenzwert)
Kriterien
Majorantenkriterium (Integrale) SATZ
0 ≤ f(x) ≤ g(x) (x ≥ a)
∫_a^∞ g konvergiert ⇒ ∫_a^∞ f konvergiert
Vorauss. f,g ≥ 0 · f ≤ g · größeres Integral konv.
Beispiel 1/(x²+1) ≤ 1/x² ⇒ konvergent
Minorantenkriterium (Integrale) SATZ
0 ≤ g(x) ≤ f(x)
∫_a^∞ g divergiert ⇒ ∫_a^∞ f divergiert
Beispiel 1/(x+1) ≥ 1/(2x) , ∫1/x div. ⇒ divergent
Grenzvergleichskriterium SATZ
f, g > 0, lim(x→∞) f(x)/g(x) = c,
0 < c < ∞
⇒ ∫f und ∫g haben dasselbe
Konvergenzverhalten
Vorauss. f,g positiv · Grenzwert existiert · c endlich & positiv
Beispiel x/(x²+1) ~ 1/x , ∫1/x div. ⇒ divergent
Absolute Konvergenz SATZ
Def.: absolut konvergent, wenn ∫|f(x)|dx konvergiert.
Satz Absolut konvergent ⇒ konvergent
Beispiel ∫_1^∞ sin(x)/x² dx abs. konv., da |sin x|/x² ≤ 1/x²
Gegenbsp. ∫_0^∞ sin(x)/x dx konvergiert, aber nicht absolut
Integralkriterium für Reihen SATZ ★
Das wichtigste Resultat dieses Kapitels! Alle 4 Vorauss. angeben!
f: [1,∞) → R mit
• f stetig
• f(x) ≥ 0
• f monoton fallend
• a_n = f(n)
⇒ Σ a_n konv. ⇔ ∫_1^∞ f(x)dx konv.
p-Reihen f=1/x^p ⇒ Σ1/n^p konv. ⇔ p>1
harmonisch f=1/x : ∫ = ln(x), 1..∞ = ∞ ⇒ Σ1/n divergent
Entscheidungsschema uneig. Integrale
» Unendliche Grenze / Polstelle finden
» Grenzwertdefinition ansetzen
» Direkt integrieren
» Sonst: Vergleich, Grenzvergleich,
p-Integrale, e-Funktionen
» Absolute Konvergenz prüfen
★ Übersichtstabelle
∫_1^∞ 1/x^p konv. ⇔ p > 1
∫_0^1 1/x^p konv. ⇔ p < 1
∫_0^∞ e^(-ax) konv. ⇔ a > 0 (= 1/a)
∫_1^∞ 1/x divergent
∫_0^1 1/x divergent
∫_0^∞ sin(x) divergent
★ Prüfungsrelevant
Auswendig:
• Definition uneig. Integrale
• Behandlung von Polstellen
• p-Integrale + Konvergenz
• Majorantenkriterium
• Minorantenkriterium
• Grenzvergleichskriterium
• Absolute Konvergenz
• Integralkriterium + ALLE Vorauss.
• Exponentialintegrale
• gewöhnliche vs. absolute Konv.
Funktionen in mehreren Variablen
Bei den Extrema ist nur der lokale Fall prüfungsrelevant.
Grundbegriffe
Definition
Abbildung f: D ⊂ R^n → R , jedem Vektor x = (x1,...,x_n) wird genau eine reelle Zahl zugeordnet.
Beispiele x²+y² , xyz , e^(x+y) , ln(x²+y²) (D: x²+y²>0)
Graph 2 Variablen: Fläche im R³: z = f(x,y)
z=x²+y² Paraboloid
z=x²−y² Sattelfläche
Definitionsbereich bestimmen ★
Eine der häufigsten Prüfungsaufgaben!
ln(g) Vorauss.: g > 0 Bsp: ln(x²+y²−1) : x²+y²>1
√g Vorauss.: g ≥ 0 Bsp: √(4−x²−y²) : x²+y²≤4
1/g Vorauss.: g ≠ 0 Bsp: 1/(x²+y²) : R²\{(0,0)}
Kombination alle Bedingungen gleichzeitig! Bsp: ln(√(1−x²−y²)) : x²+y²<1
Niveaumengen
N_c = {(x,y) : f(x,y) = c}
x²+y² Kreise mit Radius √c
x+y Geraden x+y = c
xy Hyperbeln xy = c
Grenzwert & Stetigkeit
Grenzwert (mehrdim.) ★
Def.: lim(x→a) f(x) = L , falls für jede Folge x_n → a auch f(x_n) → L .
Kernidee Grenzwert muss wegunabhängig sein!
Prüfungsprinzip: verschiedene Wege!
Bsp: f(x,y) = xy/(x²+y²)
Weg y=0: f(x,0) = 0
Weg y=x: f(x,x) = x²/(2x²) = 1/2
verschieden ⇒ Grenzwert existiert NICHT
Diese Aufgabenart ist äußerst prüfungsrelevant!
Stetigkeit (mehrdim.) SATZ
Def.: f stetig in a ⇔ lim(x→a) f(x) = f(a) .
stetig sind Polynome, rationale Fkt. (Nenner ≠ 0), exp, ln, trig. Fkt., Wurzeln (je auf Def.-Bereich)
Verkettung f, g stetig ⇒ f(g(x)) stetig
Partielle Ableitungen
Definition: partielle Ableitung ★
∂f/∂x = lim(h→0) (f(x+h,y)−f(x,y))/h
y wird konstant gehalten!
Notationen f_x , ∂f/∂x , D1f
Interpretation ∂/∂x: Bewegung parallel zur x-Achse (eine Variable verändern, Rest konstant)
Rechenregeln (wie 1D)
Linearität (f+g)_x = f_x+g_x
Produkt (fg)_x = f_xg + fg_x
Quotient (f/g)_x = (f_xg−fg_x)/g²
Kette (f(g(x,y)))_x = f'(g)·g_x
Beispiel sin(x²+y²): f_x = cos(x²+y²)·2x
Beispiele
x²y+y³ f_x=2xy, f_y=x²+3y²
e^(xy) f_x=ye^(xy), f_y=xe^(xy)
ln(x²+y²) f_x=2x/(x²+y²), f_y=2y/(x²+y²)
x^y (x>0) = e^(y ln x): f_x=yx^(y-1), f_y=x^yln(x)
Satz von Schwarz SATZ ★
Höhere Ableitungen: f_xx, f_yy, f_xy, f_yx .
f ∈ C² ⇒ f_xy = f_yx
Vorauss.! stetige zweite partielle Ableitungen (f ∈ C²) — immer nennen!
Beispiel x²y³: f_xy = f_yx = 6xy² ✓
★ Prüfungsrelevant
Auswendig:
• Definition Funktion mehrerer Var.
• Definitionsbereiche bestimmen
• Definition Niveaumengen
• Definition Grenzwert
• Wegunabhängigkeit!
• Definition Stetigkeit
• Definition partielle Ableitungen
• Rechenregeln
• Höhere partielle Ableitungen
• Satz von Schwarz (f ∈ C²!)
Differentialrechnung in mehreren Variablen
Gradient
Definition: Gradient ★
∇f(x) = (∂f/∂x1, ..., ∂f/∂x_n)
Schreibweisen ∇f , grad f , (f_x, f_y)
Beispiel f=x²+y²: ∇f = (2x, 2y)
geometrisch zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs , steht senkrecht auf Niveaulinien
Satz ∇f ⊥ Niveaulinie f=c Vorauss.: ∇f ≠ 0
Richtungsableitung SATZ
Def.:
D_uf(a) = lim(h→0) (f(a+hu)−f(a))/h
Vorauss.: |u| = 1 (Einheitsvektor)
Wichtigste Formel (f diff'bar):
D_uf(a) = ∇f(a) · u
Beispiel f=x²+y² , Punkt (1,1): ∇f=(2,2); u=(1/√2,1/√2): D_uf = 4/√2 = 2√2
Stärkster Anstieg SATZ
Satz größte Richtungsableitung in Richtung ∇f ; Maximalwert = |∇f(a)|
Vorauss. f differenzierbar
Abnahme stärkste Abnahme in Richtung −∇f(a)
Differential & Tangentialebene
Totales Differential
df = f_xdx + f_ydy
allgemein: df = Σ (∂f/∂x_i)dx_i
Lineare Approximation:
Δf ≈ df
f(x+Δx, y+Δy) ≈ f(x,y) + f_xΔx + f_yΔy
Beispiel f=x²+y²: df = 2xdx+2ydy ; in (1,2): df = 2dx+4dy
Differenzierbarkeit SATZ
Def.: f diff'bar in a ⇔
f(a+h) = f(a) + L(h) + o(|h|)
L linear; 2D: L(h,k) = f_xh + f_yk
Satz erste part. Ableitungen stetig in Umgebung ⇒ f differenzierbar
Vorauss. f ∈ C¹ — hinreichend, nicht notwendig
Tangentialebene ★
z = f(x0,y0)
+ f_x(x0,y0)(x−x0)
+ f_y(x0,y0)(y−y0)
Vorauss. f differenzierbar
Beispiel f=x²+y² in (1,1): z = 2+2(x−1)+2(y−1) = 2x+2y−2
Normalenvektor
Fläche F(x,y,z)=c ∇F ist Normalenvektor
Beispiel Kugel x²+y²+z²=1 : Normale (2x,2y,2z)
Kettenregel & Matrizen
Kettenregel (mehrdim.) SATZ
z = f(x(t), y(t))
⇒ dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Beispiel f=x²+y², x=t, y=t²: dz/dt = 2t+4t³
Jacobi-Matrix
Für F: R^n → R^m :
J_F = (∂f_i/∂x_j)
Bsp: F(x,y) = (x²+y, xy):
J = [2x 1]
[ y x]
m = 1 Jacobi-Matrix = Gradient
Hesse-Matrix ★
Alle zweiten partiellen Ableitungen — wichtig für die lokalen Extrema!
H_f = [f_xx f_xy]
[f_yx f_yy]
Vorauss. f ∈ C² ⇒ nach Schwarz symmetrisch
Beispiel f=x²+xy+y²: H = [2 1; 1 2]
Lineare Approximation / Fehler
Δf ≈ f_xΔx + f_yΔy
Fehler: o(√(Δx²+Δy²))
Bsp: f=√(x²+y²), Punkt (3,4):
∇f = (3/5, 4/5)
Δx=0.1, Δy=0.2:
Δf ≈ 0.06+0.16 = 0.22
★ Formelübersicht
Gradient ∇f = (f_x, f_y)
Richtungsabl. D_uf = ∇f·u
max. Richt.-Abl. |∇f|
tot. Differential df = f_xdx + f_ydy
Tangentialebene z = f0 + f_x(x−x0) + f_y(y−y0)
Jacobi J = (∂f_i/∂x_j)
Hesse H = (∂²f/∂x_i∂x_j)
Kettenregel dz/dt = f_x·x' + f_y·y'
★ Prüfungsrelevant
Auswendig:
• Definition Gradient
• Geometrische Bedeutung ∇f
• Definition Richtungsableitung
• D_uf = ∇f · u
• Richtung stärkster Anstieg
• Totales Differential
• f ∈ C¹ ⇒ differenzierbar
• Tangentialebene
• Kettenregel mehrdim.
• Jacobi-Matrix
• Hesse-Matrix
• Schwarz: f_xy = f_yx (f ∈ C²)
Lokale Extrema (mehrdim.)
Nur lokale Extrema prüfungsrelevant. Hesse-Matrix + Determinante = zentrale Rolle.
Definitionen
Lokales Max / Min
Maximum f(x,y) ≤ f(a,b) für alle Punkte mit ||(x,y)−(a,b)|| < ε
Minimum f(x,y) ≥ f(a,b) in genügend kleiner Umgebung
Extremum = Maximum oder Minimum
Kritische Punkte & notwendige Bedingung SATZ
Def. kritischer Punkt:
f_x(a,b) = 0 und f_y(a,b) = 0
⇔ ∇f(a,b) = 0
Satz (notwendig):
lok. Extremum + f diff'bar
⇒ ∇f(a,b) = 0
Vorauss. f differenzierbar · lokales Extremum existiert
Achtung: Umkehrung gilt nicht ! f=x²−y² : ∇f(0,0)=(0,0), aber Sattelpunkt , kein Extremum.
Hesse-Kriterium ★
Determinantenkriterium SATZ ★
Das wichtigste Kriterium des Kapitels! Vorauss.: f ∈ C², kritischer Punkt.
D = f_xx(a,b)·f_yy(a,b) − (f_xy(a,b))²
D > 0, f_xx > 0 ⇒ lok. MINIMUM
D > 0, f_xx < 0 ⇒ lok. MAXIMUM
D < 0 ⇒ SATTELPUNKT
D = 0 ⇒ keine Aussage!
Vorauss. f ∈ C² · kritischer Punkt (f_x=f_y=0 ) · jeweilige D-/f_xx-Bedingung
D = 0 andere Methoden verwenden (direkte Betrachtung)
Schema: lokale Extrema bestimmen
» Gradient: ∇f = (f_x, f_y)
» Kritische Punkte: f_x=0, f_y=0
» Zweite Ableitungen: f_xx, f_xy, f_yy
» D = f_xx·f_yy − f_xy²
» Hesse-Kriterium anwenden
Beispiele
Beispiel: Minimum
f = x²+y²
∇f = (2x,2y) ⇒ krit. Punkt (0,0)
f_xx=2, f_yy=2, f_xy=0
D = 4 > 0, f_xx > 0
⇒ lokales Minimum
Beispiel: Maximum
f = −x²−y²
∇f = (−2x,−2y) ⇒ (0,0)
H = [−2 0; 0 −2]
D = 4 > 0, f_xx < 0
⇒ lokales Maximum
Beispiel: Sattelpunkt
f = x²−y²
∇f = (2x,−2y) ⇒ (0,0)
H = [2 0; 0 −2]
D = −4 < 0
⇒ Sattelpunkt
Beispiel: degenerierter Fall (D=0)
f = x^4+y^4
∇f = (4x³,4y³) ⇒ (0,0)
f_xx = 12x², f_yy = 12y²
im Ursprung: D = 0 ⇒ Kriterium versagt!
direkt: x^4+y^4 ≥ 0
⇒ trotzdem Minimum
Globale Extrema
Satz von Weierstraß (mehrdim.) SATZ
Def.: globales Max: f(a,b) ≥ f(x,y) für alle Punkte im Def.-Bereich.
D ⊂ R^n abgeschlossen & beschränkt
f: D → R stetig
⇒ f besitzt globales Max UND Min
Vorauss. D kompakt · f stetig
Hinweis Nebenbedingungen g(x,y)=0 → Lagrange-Multiplikatoren (i.d.R. nicht mehr Analysis-1-Stoff)
★ Prüfungsrelevant
Auswendig:
• Def. lokales Max/Min
• Def. kritischer Punkt
• Notwendig: ∇f = 0
• Definition Hesse-Matrix
• Vorauss.: f ∈ C²
• Determinantenkriterium
• Fallunterscheidung:
D>0, f_xx>0 → Min
D>0, f_xx<0 → Max
D<0 → Sattelpunkt
D=0 → keine Aussage
• Satz von Weierstraß (global)
— ENDE · VIEL ERFOLG —